Een paus met Pasen

Terwijl het hart gisteren bij de paasmis was, ging het hoofd nog even uit naar de vraag hoe het toch kon dat paus Franciscus zo snel verkozen was. Net een volle dag was het conclaaf op 13 maart oud toen er al witte rook uit de Sixtijnse Kapel opsteeg. “Habemus papam” klonk het in urbi, “dat is snel” klonk het in orbi.

Meteen brak het speculeren los, vooral bij de seculiere journalist die zich niet neerlegt bij vox dei. Een veelgehoord argument voor de snelle uitslag was dat deze doorgestoken kaart zou zijn: al vooraf waren de stemmen verdeeld en felle richtingenstrijden beslecht. Kardinalen hadden allang besloten tot een koerswijziging van de kerk, de stemmingsprocedure was slechts een formaliteit. En wie daarover nog twijfelde moest maar eens tellen hoeveel kardinalen door de laatste paus zijn aangesteld. Dat zal geen bonte verzameling andersdenkenden zijn, maar eerder een klucht van gelijkgestemden die hetzelfde stemmen. Dus verliep het conclaaf snel.

Martijn van Calmthout, wetenschapsredacteur bij De Volkskrant, gooit het over een andere boeg (toegang alleen voor abonnees) die voor economen minstens zo interessant is: een speltheoretische. Zijn uitgangspunt is dat de regels van een spel het verloop ervan bepalen. In dit geval bepalen de regels voor het conclaaf de snelheid waarmee dit verloopt:

“Om het eindeloos talmen en machineren te voorkomen, kwam er [in 1996] een regel: maximaal dertig stemronden. Als er dan nog geen witte rook is, beslist een simpele meerderheid van stemmen. Alle ronden daarvoor is een tweederde meerderheid vereist. Omwille van het draagvlak.”

Die regel zou volgens hem de vroege witte rookpluimen verklaren:

 “[Het] kan veel sneller gaan dan de vereiste tweederde meerderheid suggereert. Zodra er een hoofdelijke meerderheid van de helft van de stemmen plus één is voor een bepaalde pauskandidaat, is het spel in feite gespeeld. Zijn aanhangers hoeven alleen nog maar stug voet bij stuk te houden om te winnen. Wat de overige kardinalen in volgende ronden ook stemmen, desnoods allemaal op één tegenkandidaat, het haalt niets meer uit als er na dertig ronden hoe dan ook om een gewone meerderheid wordt gestemd”.

Is dit echt zo? Een eerste, basale journalistieke vraag is of de feiten kloppen. Het antwoord is: nee. In 2007 besloot paus Benedictus de regels die Johannes Paulus II in 1996 had ingesteld weer terug te draaien. Er moet hoe dan ook een tweederde meerderheid aan stemmen zijn wil rook wit kleuren. En dus is de verklaring in De Volkskrant wel interessant maar onjuist.

En verliep de stemming eigenlijk wel snel? Historisch gezien is het antwoord: niet echt. Uit deze data-analyse is af te lezen dat er sinds 1846 vijf pausverkiezingen waren die in minder stemrondes afgingen en zes in meer. De snelheid waarmee paus Franciscus gekozen werd is alleszins gewoontjes, ook wanneer je de vijf stemrondes van dit jaar afzet tegen de mediaan van 6,5 stemrondes over alle elf verkiezingen in de afgelopen 150 jaar.

In feite verklaart de krant dus een onbestaand verschijnsel uit een onbestaande regel. Met enige vergeving die ook een journalistieke zondaar toekomt, zou je het theoretiseren kunnen noemen (met meer social choice theorie dan speltheorie). De hypothetische vraag is vervolgens: Houdt een voortijdige gewone meerderheid altijd tot het einde stand? En kan een verkiezing daarom stoppen zodra een gewone meerderheid is gevormd?

Het antwoord hangt af van het stemgedrag van de kardinalen. Als iedereen op zijn favoriete kandidaat stemt met een gewone meerderheid tot gevolg, dan hebben kandidaten geen reden om van hun keuze af te wijken. De aanhangers van de populairste kandidaat hoeven dan inderdaad alleen nog maar stug vol te houden, en zie daar, witte rook. Dit relativeert ook de betekenis van het aloude gezegde ‘hij die het conclaaf binnenkomt als paus zal deze als kardinaal verlaten’: hij die als gedachte paus binnenkomt zal deze wel degelijk als paus verlaten, mits hij de favoriet is bij de meerderheid van de kandidaten.

Zo niet, dan is het een ingewikkelder verhaal, dat zich laat vertellen aan de hand van de voting paradox. Stel er zijn drie reële kanshebbers voor het pausschap (A,B,C) waarover de voorkeuren van de kardinalen gelijk zijn verdeeld:

Er ontstaat dan alleen een gewone meerderheid als voldoende kardinalen van hun eerste voorkeur afwijken. Dit is al lastig zat maar ook als kardinalen dit toch doen, bijvoorbeeld om te voorkomen dat hun minst favoriete kandidaat paus wordt, is het einde zoek: als C een gewone meerderheid heeft dan kiest een meerderheid (blok 1 en 2) liever voor B; als B een gewone meerderheid heeft dan verkiest een meerderheid A; en als A een gewone meerderheid heeft dan verkiest een meerderheid C. Paradoxaal aan deze situatie is dat elke meerderheid wordt gedomineerd door een andere meerderheid. De strekking van het verhaal is dat haalbare meerderheden met elkaar kunnen conflicteren en er zodoende geen eenduidige winnaar is. Onder bepaalde voorwaarden kan een simpele meerderheid dan instabiel zijn en verdwijnen. Pas bij 64 procent van de stemmen is een meerderheid onder alle denkbare voorwaarden onverslaanbaar (zie hier).

Dit is een vrij extreme situatie, maar wel een die volgens sommigen bij de voorlaatste verkiezingen in 2005 enigszins opging (zie hier). En dat een gewone meerderheid kan vergaan bleek bij minstens drie eerdere pausverkiezingen (zie hier). Kanttekening daarbij is dat kardinalen toentertijd (vóór 1621) nog op meerdere kandidaten tegelijk konden stemmen waardoor meerderheden makkelijker ontstonden en makkelijker wegvielen. Maar ook bij het huidige principe ‘één kardinaal één stem’ geldt dat er geen garantie is dat een gewone meerderheid het tot het einde volhoudt. Zelfs in het denkbeeldige geval dat een gewone meerderheid uiteindelijk volstaat voor uitverkiezing, zou een vroegtijdige gewone meerderheid dus geen reden moeten zijn om de stemming voortijdig te staken. 

Tot slot: voor wie denkt dat stemtheorieën de kardinalen de pet te boven gaan, dat klopt ook wel. Vandaar dat de Katholieke Kerk in de jaren negentig Kenneth Arrow – Nobelprijswinnaar en grondlegger van de social choice theorie – vroeg om mee te denken over verdere verfijning van de stemprocedures (zie hier). Hij was het die de voting paradox en principes rond stabiele meerderheden formeel uitwerkte; principes uit voorgaande eeuwen die op hun beurt waren geïnspireerd op ruim duizend jaar ervaring met het ontwikkelen van stemprocedures in – jawel – de Katholieke Kerk. Deze paper laat zien hoe die ontwikkelingen verliepen en in reactie op welke merkwaardige misstanden, die je meer verwacht in fantasyverhalen zoals Game of Thrones.