De volatiliteit van de DAX en de EOE

De volatiliteit van de DAX en de EOE
Aute ur(s ):
Vlaar, P.J.G. (auteur)
De auteur is werkzaam b ij de afdeling Wetenschappelijk Onderzoek en Econometrie van De Nederlandsche Bank
Ve rs che ne n in:
ESB, 81e jaargang, nr. 4042, pagina 78, 24 januari 1996 (datum)
Rubrie k :
Tre fw oord(e n):
beleggen, financiële, markten

Zijn de volatiliteit van de DAX en de EOE-index te voorspellen? Een analyse met behulp van een volatiliteitsindex.
Sinds december 1994 publiceert de Duitse beurs een volatiliteitsindex, de VDAX. Deze VDAX geeft de zg. impliciete volatiliteit van de
DAX, de index op de belangrijkste dertig aandelen aan de Duitse beurs. De impliciete volatiliteit, die wordt berekend uit de prijzen van
opties, kan worden gezien als een indicator van de marktverwachting van de toekomstige volatiliteit van de aandelenindex.
In dit artikel is naar analogie van de VDAX een vergelijkbare indicator voor de Nederlandse aandelenmarkt afgeleid, die we hierna zullen
aanduiden met VEOE. De eigenschappen van zowel de VDAX als de VEOE worden onderzocht door hun waarde af te zetten tegen
achtereenvolgens de historische en de toekomstige volatiliteit. De eerste vergelijking verschaft inzicht in de bronnen die
marktparticipanten op de optiebeurs gebruiken bij het inschatten van de toekomstige volatiliteit, terwijl de tweede informatie verschaft
over de juistheid van hun inschatting en, daarmee samenhangend, over de efficiency van de optiebeurs. Dit inzicht kan, naast de
handelaren op de optiebeurs, tevens de handelaren op de aandelenbeurs van dienst zijn, aangezien het vereiste rendement op aandelen
mede afhankelijk zal zijn van het verwachte risico op de belegging. Met name indien de VDAX en de nieuw geconstrueerde VEOE
informatie over de toekomstige volatiliteit bevatten die niet ook rechtstreeks uit de historische volatiliteit gehaald kan worden, zal de
nieuwe index een nuttige rol kunnen vervullen.
Berekening VDAX en VEOE
De VDAX en de VEOE worden afgeleid van optieprijzen. Een optie geeft het recht om een onderliggende waarde op een bepaald tijdstip
voor een afgesproken prijs te kopen (call-optie) of te verkopen (put-optie). Bij een Europese optie kan dit recht alleen uitgeoefend
worden op de vervaldatum van de optie, terwijl dit bij een Amerikaanse optie op ieder gewenst moment tot aan de vervaldatum mogelijk
is. Het recht om van koop of verkoop af te zien zal met name nuttig zijn indien de onzekerheid omtrent het toekomstig prijsverloop groot
is. In dat geval is de kans op een grote winst immers groter, terwijl het maximale verlies beperkt blijft tot de aanschafwaarde van de optie.
De prijs van de optie zal dus hoger moeten zijn indien de verwachte onzekerheid groter is. Deze onzekerheid, gekwantificeerd als de
verwachte standaarddeviatie, wordt de impliciete volatiliteit genoemd.
Voor Europese call- en put-opties op aandelen waar geen dividend over wordt betaald kan de impliciete volatiliteit bepaald worden met
behulp van de Black-Scholes formule 1. Deze formule berekent de waarde van de optie uit de huidige spotprijs van het aandeel, de
verwachte toekomstige standaarddeviatie van het aandeel, de uitoefenprijs en resterende looptijd van de optie en de risicovrije nominale
rentevoet. Met enige kleine aanpassingen kan de formule eveneens gebruikt worden voor de berekening van de optieprijs op andere
onderliggende waarden, zoals aandelen met dividendbetalingen of wisselkoersen. Aangezien de veronderstelde volatiliteit de enige
grootheid in de formule is die niet rechtstreeks kan worden waargenomen, kan deze – onder de veronderstelling dat de marktparticipanten
deze formule daadwerkelijk gebruiken ter bepaling van de optie-waarde – worden afgeleid uit de optieprijs. Deze veronderstelling is
gemaakt ter berekening van de VDAX en VEOE.
De VDAX geeft de impliete volatiliteit weer voor de komende 45 kalenderdagen. Aangezien optiecontracten slechts eenmaal per maand
aflopen worden, indien geen optiecontracten met een resterende looptijd van exact 45 dagen voorhanden zijn, opties met twee
verschillende looptijden gebruikt ter bepaling van de index. Alleen de opties waarvan de uitoefenprijs het dichtst ligt bij de huidige
termijnkoers van de DAX met overeenkomstige looptijd (deze opties noemt men ‘at-the-money’) worden in de berekening betrokken. Deze
opties zijn het meest gevoelig voor een verandering in de volatiliteit 2. Ter bepaling van de index worden in totaal acht opties gebruikt (2
looptijden, 2 uitoefenprijzen en zowel een call- als een put-optie). De volatiliteitsindex wordt dagelijks gepubliceerd als een percentage
per jaar.
Ter bepaling van de volatiliteitsindex voor de Amsterdamse aandelenbeurs hebben we als onderliggende waarde de Amsterdam EOEindex genomen. Deze index wordt algemeen als de meest representatieve beschouwd. Bovendien is het handelsvolume in opties op de
Amsterdam EOE vele malen groter dan dat op de andere aandelenindices die op de EOE-optiebeurs worden verhandeld. Wat betreft de
berekeningswijze is alleen ten aanzien van de looptijd afgeweken van de bij de VDAX gevolgde methode. Om dag-van-de-week effecten
te vermijden zijn we voor de VEOE uitgegaan van een tijdshorizon van 42 in plaats van 45 dagen. Met name in de weekenden zal de
volatiliteit immers aanzienlijk lager zijn dan op handelsdagen. Alleen om deze reden is het waarschijnlijk dat een volatiliteitsindex over 45
dagen op maandagen en dinsdagen hoger zal zijn dan op donderdagen en vrijdagen.

Nadere analyse van volatiliteitsindices
De analyse van de volatiliteit op de beurzen van Frankfurt en Amsterdam is uitgevoerd met wekelijkse waarnemingen (vrijdagen). De
steekproefperiode van de VDAX loopt van januari 1992 tot en met maart 1995 en die van de VEOE van januari 1994 tot en met februari
1995. De wekelijkse frequentie is verkozen boven de dagelijkse omdat de efficiencywinst van dagcijfers vanwege overlappende data
betrekkelijk gering is, en niet opweegt tegen de extra berekeningslast.
Beloop
In figuur 1 en figuur 2 wordt de door respectievelijk de VDAX en de VEOE weerspiegelde impliciete volatiliteit vergeleken met de
overeenkomstige historische volatiliteit. De historische volatiliteit is hierbij berekend als de standaarddeviatie over procentuele
dagmutaties van resp. de DAX en de Amsterdam EOE-index over eveneens 45 resp. 42 dagen. De volatiliteit blijkt aan aanzienlijke
schommelingen onderhevig te zijn. Dit geldt echter in mindere mate voor de impliciete volatiliteit dan voor de historische volatiliteit (zie
ook tabel 1).

Figuur 1. Volatiliteit DAX-index, standaarddeviatie over 45 kalenderdagen, %, op jaarbasis

Figuur 2. Volatiliteit EOE-index, standaarddeviatie over 42 kalenderdagen, %, op jaarbasis

Tabel 1. Historische en impliciete volatiliteit
DAX (01/92-03/95)
historisch impliciet
Gemiddelde
Std. dev.
Correlatie

14,40
3,78

16,35
3,47
0,82

DAX (01/94-02/95)
historisch impliciet
16,40
2,98

19,22
2,44
0,66

EOE (01/94-02/95)
historisch impliciet
12,95

2,69

15,94
2,09
0,69

Plotselinge veranderingen in de historische volatiliteit blijken slechts voor een gedeelte te worden gevolgd door de impliciete volatiliteit.
De optiemarkt regeert dus niet alleen naar de waan van de dag, maar houdt rekening met de een langere-termijn evenwichtsniveau van de
volatiliteit. Daarnaast valt op dat de impliciete volatiliteit vrijwel altijd hoger is dan de historische. Een mogelijke reden voor deze
systematisch hoge impliciete volatiliteit zou kunnen liggen in de transactiekosten, waarvan bij de berekening van de impliciete volatiliteit
wordt aangenomen dat ze onbelangrijk zijn. Deze transactiekosten, alsmede andere kosten voor de schrijver van de optie, kunnen de
veronderstelling van de afwezigheid van arbitrage-winsten, die ten grondslag ligt aan de Black-Scholes formule, verstoren 3. De
gemiddeld hogere impliciete volatiliteit is in deze zienswijze een premie voor deze marktimperfecties. Indien marktimperfecties inderdaad
van belang zijn zou hiermee rekening gehouden moeten worden bij de interpretatie van de impliciete volatiliteit als de marktverwachting
van toekomstige volatiliteit. Tenslotte valt bij de onderlinge vergelijking van de volatiliteiten van de DAX en de EOE op dat zowel de
impliciete als de historische volatiliteit op de Duitse beurs in Frankfurt aanzienlijk hoger is dan op de Amsterdamse beurs. Dit
weerspiegelt mogelijk een groter percentage conjunctuurgevoelige fondsen aan de Duitse beurs dan aan de Nederlandse.
In tabel 1 zijn enige kerngegevens betreffende de volatiliteit gekwantificeerd. Om een vergelijking van de DAX met de EOE mogelijk te
maken zijn de gegevens voor de DAX zowel voor de gehele steekproefperiode als voor de periode overeenkomstig de EOE-steekproef
beschreven. De gemiddelde impliciete volatiliteit blijkt voor de onderzochte steekproeven 13% tot 23% hoger te liggen dan de
gemiddelde historische. De standaarddeviatie, die geinterpreteerd kan worden als de mate van fluctuatie in de volatiliteit, is daarentegen
8% tot 22% lager voor de impliciete volatiliteit. Een mogelijke verklaring hiervoor zou kunnen zijn dat marktparticipanten veranderingen in
de huidige volatiliteit niet volledig meenemen bij hun voorspelling van de toekomstige volatiliteit. Voor de DAX is de correlatie tussen de
historische en de impliciete volatiliteit recentelijk aanzienlijk afgenomen tot 0,66 hetgeen vrijwel gelijk is aan de waarde van 0,69 die voor
de EOE wordt gevonden over de overeenkomstige periode. Het gemiddelde niveau en de standaarddeviatie over de volatiliteitscijfers zijn
fors hoger voor de DAX dan voor de EOE.
Verklaring impliciete volatiliteit
Uitgaande van adaptieve verwachtingsvorming zou men verwachten dat de impliciete volatiliteit kan worden verklaard uit de historische
volatiliteit. Om dit te verifieren zijn vergelijkingen geschat waarin de impliciete volatiliteit voor de komende zes weken wordt verklaard uit
de standaarddeviatie van de koersontwikkeling over respectievelijk de afgelopen zes weken, de zes weken daarvoor, tot aan een periode
tot 36 weken terug. Zowel voor de Duitse als de Nederlandse beurs blijkt de impliciete volatiliteit, althans voor de beschouwde periode,
in belangrijke mate te volgen uit de historische volatiliteit, waarbij recente perioden een aanzienlijk groter gewicht hebben dan eerdere 4.
Deze uitkomst lijkt rationeel gezien het feit dat de volatiliteit op wat langere termijn steeds naar een evenwicht tendeert, waardoor
plotselinge volatiliteitsveranderingen slechts een tijdelijk karakter hebben. Deze bevinding is echter niet noodzakelijkerwijs universeel.
Zo is voor de Verenigde Staten gevonden dat recente volatiliteit slechts in geringe mate bijdraagt aan de impliciete volatiliteit 5. De
coëfficiënten van de standaarddeviaties in de vergelijkingen tellen voor de VDAX en de VEOE respectievelijk op tot 1,14 en 1,20. De
constante term heeft geen significante invloed voor beide impliciete volatiliteiten. Dit duidt op een proportionele toename van de
risicopremie met de volatiliteit. Dit kan verklaard worden uit het feit dat de schrijver van een optie actiever moet handelen om zijn risico’s
af te dekken in geval van hogere volatiliteit, hetgeen leidt tot hogere transactiekosten.
Voorspelling van toekomstige volatiliteit
Een tweede vraag is in hoeverre de impliciete volatiliteit een goede voorspeller is van de toekomstige volatiliteit. In de literatuur gaat men
er over het algemeen vanuit dat de impliciete volatiliteit een betere voorspelling van de toekomstige volatiliteit zou moeten opleveren dan
de historische. Het betreft hier immers de voorspelling van de markt, en volgens de aanhangers van de rationele-verwachtingentheorie
zou alle relevante informatie, dus inclusief de historische, hierin verwerkt moeten zijn. De empirische resultaten in de literatuur zijn echter
niet eenduidig 6.
In de onderhavige steekproeven voor de DAX en de Amsterdam EOE-index blijkt de variantie van de voorspelfout op basis van de
impliciete volatiliteit aanzienlijk lager te zijn dan die op basis van de historische (tabel 2). Aangezien de gemiddelde voorspelfout op
basis van de impliciete volatiliteit echter aanzienlijk groter is dan die op basis van de historische volatiliteit, is de gemiddelde
kwadratische voorspel-fout gebaseerd op historische volatiliteit niet altijd groter dan die gebaseerd op de impliciete volatiliteit.

Tabel 2. Voorspelfouten van volatiliteit
DAX (01/92-02/95)
gemid- vari- kw.ft
delde
antie
Historische volatiliteit
laatste 6 weken
-0,19
laatste 18 weken
-0,34
laatste 36 weken
-0,25
gewogen gemidd.
-0,52
Impliciete volatiliteit
ongecorrigeerd
1,68
multipl. premie
-0,38

DAX (01/94-01/95)
gemid- vari- kw.ft
delde antie

EOE (01/94-01/95)
gem. vari- kw.ft
antie

17,1
18,1
22,3
14,3

17,2
18,2
22,4
14,6

0,29
0,24
0,00
-0,33

21,6
11,5
12,6
14,5

21,7
11,6
12,6
14,6

0,46
0,87
0,92
0,40

13,4
6,9
9,9
7,8

13,6
7,6
10,8
8,0

13,6
13,4

16,4
13,5

3,21
0,29

10,8
10,3

21,1
10,4

3,44
0,45

6,5
6,4

18,4
6,6

Toelichting: Het gewogen gemiddelde van historische volatiliteiten is gebaseerd op de geschatte vergelijking voor de impliciete
volatiliteit. Deze schatting is vervolgens gecorrigeerd voor een multiplicatieve risicopremie ter grootte van deverhouding tussen de
gemiddelde impliciete en historische volatiliteit (tabel 1).Deze multiplicatieve premie is ook bij de impliciete volatiliteit toegepast.

Het feit dat de impliciete volatiliteit de toekomstige volatiliteit overschat is echter geen verrassing, gezien het feit dat de impliciete
volatiliteit ook vrijwel altijd hoger is dan de historische volatiliteit. Indien dit het gevolg zou zijn van bijvoorbeeld de transactiekosten die

de schrijver van de optie moet maken om zijn posities continu af te dekken, kan de impliciete volatiliteit niet meer gezien worden als de
marktverwachting van de toekomstige volatiliteit. Vandaar dat we vervolgens de voorspelfout hebben berekend, waarbij rekenening
wordt gehouden met een multiplicatieve premie voor de transactiekosten. De hoogte van de premie is afgeleid uit de gemiddelde hoogte
van de impliciete volatiliteit ten opzichte van de historische volatiliteit (zie tabel 1). De aldus berekende gemiddelde kwadratische fout is
in alle drie de steekproeven beduidend lager dan die op basis van historische volatiliteit.
Om de oorzaak van de betere voorspelling van impliciete volatiliteit te onderzoeken is ook de voorspelfout van een gewogen gemiddelde
van historische volatiliteiten opgenomen. Hierbij zijn de gewichten gebaseerd op de geschatte vergelijkingen voor de impliciete
volatiliteit. Tevens is bij de voorspelling weer rekening gehouden met een multiplicatieve premie. De verkregen gemiddelde kwadratische
fout ligt in tussen die van de impliciete volatiliteit en die van de standaarddeviatie over de afgelopen zes weken. De oorzaak van de
betere voorspelling van de impliciete volatiliteit ten opzichte van de recente historische volatiliteit ligt dus zowel aan het incorporeren
van de verder in het verleden liggende volatiliteit als aan additionele informatie die niet aan de historische volatiliteit is gerelateerd.
Conclusies
In dit onderzoek is, naar aanleiding van de recente introductie van een volatiliteitsindex door de Duitse beurs (de VDAX), een analoge
index voor de Nederlandse aandelenmarkt geïntroduceerd (de VEOE). De indices geven een gewogen gemiddelde van impliciete
volatiliteiten weer, die berekend worden uit de prijzen van opties. Zowel de VDAX als de VEOE blijkt gedeeltelijk verklaard te kunnen
worden uit de volatiliteit uit het verleden, waarbij perioden verder in het verleden minder invloed hebben dan recente perioden. Wel blijkt
de impliciete volatiliteit 13% tot 23% hoger te zijn dan de historische volatiliteit. Dit zou een gevolg kunnen zijn van kosten voor de
schrijver van een optie die niet in de Black-Scholes formule naar voren komen, zoals transactiekosten. Indien rekening wordt gehouden
met deze extra kosten blijkt op basis van beide indices de toekomstige volatiliteit aanzienlijk beter te kunnen worden voorspeld dan op
basis van de volatiliteit over het recente verleden. Dit is zowel een gevolg van het incorporeren van volatiliteit uit het verdere verleden,
als van informatie die niet uit de historische volatiliteit gehaald kan worden. De VDAX en de nieuw geconstrueerde VEOE kunnen aldus
zowel handelaren op de aandelen- als op de optiebeurs van groot nut zijn bij het inschatten van de toekomstige volatiliteit

1 F. Black en M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, 1973, blz. 637-659.
2 Zie S. Beckers, Standard deviations in option prices as predictors of future stock price variablity, Journal of Banking and Finance,
1981, blz. 363-382.
3 S. Figlewski, Option arbitrage in imperfect markets, Journal of Finance, 1989, blz. 1289-1311.
4 Nadere bijzonderheden kunnen worden gevonden in: P.J.G. Vlaar, De relatie tussen impliciete en feitelijke volatiliteit, DNB,
Onderzoeksrapport WO & E, nr. 428.
5 L. Canina en S. Figlewski, The information conrtent of implied volatility, Review of Financial Studies, nr. 6, blz. 659-681.
6 Voor positieve resultaten van implied volatality, zie Black en Scholes, The valuation of option contracts and a test of market efficiency,
Journal of Finance, 1972, blz. 399-417; Latane en Renleman, Standard deviations of stock prices, Journal of Finance, 1976, blz. 369-381;
Schmalensee en Trippi, Common stock volatility expectations implied by option premia, Journal of Finance, 1978, blz. 129-147. Canina en
Figlewsky, 1993, op.cit, vinden daarentegen vrijwel geen correlatie tussen impliciete en toekomstige volatiliteit.

Copyright © 1996 – 2003 Economisch Statistische Berichten (www.economie.nl)