Keuzeprobleem op Centre
Court
L. Borghans*
I
o
z
o
(J
n dit artikel wordt de Wimbledon-finale tussen Sampras en Beckergeanalyseerd.
Het blijkt dat de verliezer, Boris Becker, meerpunten had kunnen scoren als hij
een betere inschatting van de kwaliteit van zijn eigen spel had gemaakt. Door bij
de tweede service meer risico te nemen had hij meer dubbele fouten geslagen, maar
zou zijn scoringspercentage toch zijn gestegen.
Uitgangspunt in de neoklassieke economische theorie is dat mensen rationale keuzes maken, gegeven
hun mogelijkheden en gegeven hun voorkeuren. Een
belangrijke voorwaarde voor deze rationaliteit is dat
men weet uit welke mogelijkheden gekozen kan worden, en wat de gevolgen van verschillende keuzes
zijn. Vaak wordt aangenomen dat mensen ‘goede’
keuzes zullen maken, mits ze voldoende ervaring
hebben, en mits de belangen die op het spel staan,
groot genoeg zijn.
In dit artikel wordt het vermogen om de goede
keuze te maken geanalyseerd aan de hand van een
tenniswedstrijd. Het resultaat van een tenniswedstrijd
wordt niet alleen bepaald door de tenniskwaliteiten
van een speler, maar ook door het inzicht dat een
speler heeft in zijn eigen kwaliteiten. In een professionele tenniswedstrijd lijken de belangen van de spelers voldoende groot, en hebben we ook te maken
met spelers die door selectie en ervaring in staat geacht mogen worden het tennisspel voldoende te beheersen. Dit geldt zeker in de Wimbledon-finale tussen Becker en Sampras die in dit artikel centraal staat.
Om de tegenstander voldoende onder druk te zetten, moet een tenisspeler voortdurend risico’s nemen. Dit doet zich bij voorbeeld voor bij de opslag.
Als de opslag voorzichtig wordt geslagen is de kans
groot dat de tegenstander overwicht krijgt in de rally
LLJ
LLJ
Q_
CO
Figuur 1. De kansverdettng bij de tennisopslag
tweede service
eerste service
G:
goede service, punt
G:
goede service. punt
S: foute service
S: foute service
F: goede service, geen punt
F: goede service, geen punt
die volgt en daardoor een punt kan scoren. Neemt
een speler echter veel risico bij de opslag, dan is de
kans groter dat als de opslag goed is hij onmiddellijk
of in de rally die volgt kan scoren. Tevens vergroot
hij echter de kans op een foute opslag. De speler
dient dus niet alleen technisch goed tennis te spelen,
maar moet ook een afweging maken van de mate
waarin hij risico neemt. Deze afweging hangt af van
zijn eigen kwaliteiten op zowel de service als het uitspelen van een rally, alsook van het tegenspel van
zijn opponent.
De tweede opslag
Een interessante spelregel, die tennis geschikt maakt
om dit keuzegedrag te analyseren, is de dubbele opslag. Als een speler bij de eerste opslag een fout
maakt, mag hij nog een tweede maal opslaan. Deze
regel leidt ertoe dat tennisspelers bij de eerste opslag
doorgaans extra risico nemen. Als de eerste opslag
fout is en er dus voor de tweede keer wordt opgeslagen, vervalt dit voordeel. Dit verschil in aanvaardbaar risico tussen de eerste en de tweede opslag
leent zich goed als natuurlijk experiment voor een
analyse van de rationaliteit van de tennisspeler .
Uitgangspunt van het model dat in dit artikel
wordt geanalyseerd, is dat het resultaat van een opslag voor een groot deel van het toeval afhangt. Een
tennisspeler slaat niet nu eens een goede opslag en
vervolgens een slechte opslag, maar balanceert voortdurend op de grens van het haalbare, waardoor twee
* De auteur is werkzaam bij het Researchcentrum voor
Onderwijs en Arbeidsmarkt (ROA) aan de Rijksuniversiteit
Limburg te Maastricht. Hij dankt Marjolein Luimes, Myra
Wieling en Ed Willems voor hun commentaar.
1. De term natuurlijk experiment voor een dergelijke analyse komt van Metrick, die de tegenstelling wil tonen met de
gebruikelijke economische experimenten, waarbij gebruik
wordt gemaakt van proefpersonen. Zelf analyseert hij het
keuzegedrag van deelnemers aan een Amerikaanse quiz in
A Natural Experiment in “Jeopardy!”, American Economic
Review, 1995, biz. 240-253.
vrijwel identieke opslagen aan de ene kant een ace
en aan de andere kant een fout op kunnen leveren.
De keuzesituatie van een speler die aan opslag is,
wordt weergegeven in figuur 1. Bij de eerste opslag
doen zich drie mogelijkheden voor:
• (G) de opslag is goed en leidt, onmiddellijk via
een ace, of na een rally tot een punt voor de
serveerder;
• (S) de service is fout en
• (F) de service is goed, maar de speler verliest de
rally die volgt.
De drie gebeurtenissen hebben een kans van respectievelijk Pi , PI en PI . Alleen in het geval van een
foute service (S), zal de speler nogmaals serveren. Er
doen zich nu dezelfde mogelijkheden voor, met als
enig verschil dat een foute service nu ook onmiddellijk tot een verliespunt leidt. De kansen bij de tweede
opslag worden weergegeven met P2 , P2S en P2F.
De doelstelling bij opslag is de kans op een punt
zo groot mogelijk te maken. Die kans is gelijk aan:
PiG + (Pis x P2°)
De mogelijkheden die een speler heeft om deze doelstelling te verwezenlijken zijn minder duidelijk waarneembaar. In principe kan iedere stijl van opslaan
beschreven worden door de drie kansen P , Ps en
PF. Omdat deze kansen optellen tot 1 kunnen ze
worden weergegeven in een eenheidssimplex, zoals
gedaan is in figuur 2. Uiteraard is niet iedere combi-
me eerder af en ligt hij
verder van de lijn P =
0 verwijderd.
Al met al wordt de
opslagkromme bepaald
door de spelkwaliteiten
van de serverende speler bij zowel de opslag
als het vervolg van de
rally, en door de kwaliteiten van zijn tegenstander. De opslagkromme weerspiegelt
daarom in zekere zin
de relatieve tenniskwaliteit van de speler. Zoals
Figuur 2. Een geconstrueerde opslagkrome
PF =
gezegd is voor een
goed wedstrijdresultaat
echter niet alleen deze
tenniskwaliteit van belang, maar moet de speler ook
een gunstige mate van risico kiezen. Om optimaal te
kunnen spelen moet hij derhalve inzicht in zijn eigen
spelkwaliteit hebben.
Met de opslagkromme kan deze optimale opslag
worden bepaald. Bij de tweede opslag is het doel
van de speler de kans op een goede opslag die leidt
tot een punt zo groot mogelijk te maken. Dat betekent dat voor de tweede opslag het punt gekozen
dient te worden waarvoor Pz zo groot mogelijk is.
Dit punt ligt op het raakpunt met een lijn die parallel
loopt aan de lijn P = 0. In dit voorbeeld kan de spe-
natie van kansen realiseerbaar voor een speler. Zo
ler maximaal een kans van 50% op een punt uit een
zal vrijwel niemand louter winnende punten kunnen
opslag halen. Deze 50% is onderverdeeld in een kans
slaan. In de praktijk kan een speler kiezen uit grada-
op een ace, en de kans op een punt uit een rally.
ties van slagen tussen zeer scherpe opslagen met een
Bij de eerste service kan een speler meer risico
nemen. Hierdoor zal er minder vaak een rally volgen
e slaat hij eerder een foute opslag. Omdat deze een
tweede kans oplevert, heeft de speler echter baat bij
een foute eerste opslag, en wel zo veel als de verwachte opbrengst van de tweede kans bedraagt; in
groot risico dat ze uit gaan, maar die als ze goed zijn
ook een punt opleveren, en zeer voorzichtige opslagen die altijd in blijven, maar onmiddellijk door de
tegenstander worden afgestraft. De keuze die een
speler – gezien zijn capaciteiten – heeft worden in
figuur 2 weergegeven door de kromme.
Deze opslagkromme start vanuit de linker onderhoek als een vrijwel rechte lijn. De opslag is hier zo
riskant dat hij vrijwel altijd fout is. In het geval de opslag wel in is, is echter de kans groot dat de serverende speler een punt scoort door ofte wel een ace te
slaan, of doordat de tegenstander zo onder druk staat
dat hij in de rally die volgt weinig kans maakt. Naar-
mate de service minder riskant wordt, zal dit overwicht echter steeds minder groot worden. De opslagkromme buigt dan ook af naar boven. Bij een speler
met een goede service – vergeleken met het retour-
neertalent van zijn tegenstander – zal het beginstuk
van de opslagkromme dicht bij de lijn PF = 0 lopen.
Bij een speler met een minder goede service zal de
kromme vanuit de linker onderhoek sterker stijgen.
Als een speler een trefzekere opslag heeft, of als
hij ook bij een minder felle opslag door goed rallyspel toch nog vaak een punt weet te scoren,
zal de kromme pas laat naar boven afbuigen. In dat
geval ligt het bovenstuk van de kromme dicht bij de
lijn P – 0: ook zonder veel opslagrisico is hij in staat
veel punten te scoren. Bij een speler die het opslagrisico nodig heeft om te kunnen scoren buigt de krom-
ESB 19-7-1995
dit voorbeeld 0,50 punt. Het optimale punt op de
opslagkromme voor de eerste opslag wordt dan ook
gevonden langs de lijn PG + 0,5PSx PG geeft het aantal directe punten aan en 0,5P is de verwachte opbrengst van de tweede service.
De ligging van de optimale eerste en tweede opslag hangt sterk samen met de vorm van de opslagkromme. Een speler met een zwakke rally zal zowel
bij de eerste als de tweede opslag meer risico moeten nemen dan een speler met meer retourneertalent.
Omdat de opslagkromme mede afhangt van de spelkwaliteit van de tegenstander en deze kromme gedurende een wedstrijd kan verschuiven, moet ook de
optimale afweging van het risico op de service voortdurend worden aangepast.
Als de opslagkromme van een speler bekend zou
zijn, zou getoetst kunnen worden of de eerste twee
opslagen voldoen aan het maximalisatieprincipe dat
hier is geschetst. In de praktijk is deze kromme echter niet bekend en worden er slechts twee specifieke
punten waargenomen, namelijk de kansverhoudingen in de eerste en tweede service, zoals die door de
speler zijn gekozen. In een drietal gevallen kan echter, zelfs op basis van deze geringe informatie, aange-
Figuur 3- De opslagkromme van Sampras
Ps = 1
toond worden dat de
opslagkeuze van de
speler niet rationed
is.
Ten eerste kan de
tweede opslag zo
voorzichtig zijn dat
een speler beter zijn
eerste slag had kunnen herhalen. In dat
geval geldt dat Pi° +
Pis x PIG > PIG + Pis
x P2G. Het volgt onmiddellijk dat in dat
geval PIG > P2G. Een
eerste voorwaarde
voor rationaliteit is
daarom P2 > PI , ofwel de kans op een punt bij de tweede opslag moet
groter zijn dan de kans op een punt bij de eerste opslag. Als dit niet het geval is zou de speler immers beter de meer risicovolle eerste opslag kunnen kiezen.
In figuur 2 betekent dit dat punt 1 links van de PGraaklijn door punt 2 moet liggen.
Omgekeerd kan ook de eerste opslag te risicovol
zijn. Dit is het geval als de tweede opslag beter de
eerste zou kunnen vervangen: P2G + P2S x P2G > PIG
+Pi x ?2 . Op vergelijkbare wijze kan afgeleid worden dat de tweede voorwaarde voor rationaliteit is:
PIG > (1 + P2S – Pis) x P2G. In dit geval is niet de
tweede opslag te voorzichtig, en daardoor onrendabel, maar de eerste opslag te risicovol waardoor zijn
rendement te laag is. In ruil voor het maximaal aantal
directe punten worden er meer foute opslagen geslagen, maar deze foute opslagen leveren bij de tweede
opslag onvoldoende punten op om het directe verlies te compenseren. In het figuur betekent dit dat
punt 2 links van de P + 0,5P -raaklijn door punt 1
moet liggen.
Ten derde kan het zelfs beter zijn beide opslagstijlen onderling te verwisselen: P2° + P2S x PI° > PI° +
PI x P2 . Hieruit volgt de derde voorwaarde voor rationaliteit: Pi G /Pi F > P2G/P2F- Deze voorwaarde kan
echter alleen geschonden worden als ook
de eerste of de tweede voorwaarde geschonden zijn.
Doordat slechts twee punten van de
opslagkromme bekend
Figuur 4. De opslagkrommen van Becker
zijn, hebben de voorwaarden voor rationaliteit die hierboven zijn
PF = 1
vastgesteld slechts een
beperkte kracht om
rationaliteit te weerleggen. Kleine afwijkingen
van het optimale gedrag zullen niet onmiddellijk betekenen dat
verwisselingen van de
eerste en tweede service lonend zijn, en
worden dus niet zichtbaar. Als de hier genoemde voorwaarden
Ps = 1
Pc =
overtreden worden, be-
tekent dit dus een forse schending van de rationaliteit.
Resultaten
Zoals gezegd wordt dit natuurlijke experiment geanalyseerd aan de hand van de Wimbledon-finale die onlangs werd gespeeld. Sampras versloeg hierin Becker
in vier sets. Tabel 1 en 2 geven de scoringspercentages voor de opslagen van beide tennisspelers.
Gemiddeld over de hele wedstrijd blijkt Sampras
geen van de drie voorwaarden voor rationaliteit te
overtreden. 61% > 49% zodat de tweede opslag niet
te voorzichtig is; 49% > (1 + 0,14 – 0,47) 61% zodat
zijn eerste opslag niet te risicovol is; en ook verwisseling van beide slagen blijkt niet rendabel te zijn, immers 49/5 > 61/25.
De gemiddelde resultaten van Becker over de
hele wedstrijd tonen wel een strijdigheid met de rationaliteit. Bij de eerste opslag scoort Becker meer punten dan bij de tweede opslag. Dit betekent volgens
de eerste voorwaarde voor rationaliteit dat hij gemiddeld te voorzichtig is bij zijn tweede service. Dit impliceert opvallend genoeg dat Becker te weinig dubbele fouten heeft geslagen. Als Becker zijn tweede
service met meer risico had geslagen had hij weliswaar meer dubbele fouten gemaakt, maar had hij
naar verwachting tevens extra punten gescoord. Dit
doet zich vooral voor in de tweede en derde set. Als
Becker met een zelfde risico als zijn eerste opslag
ook de tweede opslag had geslagen, had hij in deze
twee sets weliswaar naar verwachting 16 in plaats
van 9 dubbele fouten geslagen, maar had hij ook 4
extra winst- in plaats van verliespunten gehaald. Dit
illustreert dat de afstand tussen grote fouten en grote
successen erg klein is. Terwijl de televisie-reporter bij
een ace spreekt van ‘een enorme souplesse in de beweging’ en bij een dubbele fout ‘ziet dat het zelfvertrouwen wegzakt’ is er in feite slechts sprake van
twee kanten van een (stochastische) medaille.
De overtreding van de rationaliteitsvoorwaarde is
echter niet significant. Dit komt voornamelijk doorTabel 1. Resultaten van de opslag van Sampras, in %
N
PiG
PiF
P,s
P°
2
38
21
24
22
50
57
54
32
5
0
45
43
46
55
59
44
73
67
Totaal 105
49
47
61
Set
1
2
3
4
0
14
P2F
P2S
18
27
25
24
22
0
8
25
14
33
Tabel 2. Resultaten van de opslag van Becker, in %
Set
N
1
43
24
46
Pi”
27
51
38
44
26
9
8
11
15
40
54
46
59
53
23
33
44
35
54
38
31
12
23
29
25
Totaal 140
41
11
48
39
39
22
2
3
4
dat het spelpatroon van Becker zich gedurende de
wedstrijd wijzigde. In de eerste set zijn de opslagresultaten vergelijkbaar met die van Sampras. In deze
eerste set wordt dan ook geen overtreding van de
rationaliteitsvoorwaarden aangetroffen. Vanaf de
tweede set dalen de resultaten van Becker echter aanzienlijk. De percentages succesvolle opslagen dalen
drastisch, maar ook treedt in de tweede en derde set
de overtreding van de eerste rationaliteitsvoorwaarde
op. De verschillen tussen de succes-score (PG) bij de
eerste en tweede opslag is vrij fors: 38% kans op een
winstpunt bij de eerste opslag tegenover 23% kans
op een winstpunt bij de tweede opslag in de tweede
set en 44% kans op een winstpunt tegenover 33%
kans op een winstpunt in de derde set2. De tweede
opslag van Becker is te voorzichtig. In de vierde set
doet zich nogmaals een omslag voor. In deze set
vindt juist een overtreding van de tweede rationaliteitsvoorwaarde plaats. De eerste opslag is te risicovol immers 26% < (1+0,25 – 0,59) 39% = 29%.
In figuur 4 zijn de opslagkansen van Becker per
set weergegeven. Opslag 1 en 2 worden aangeduid
met de set als subscript. Het lijkt er op dat in de vierde set de opslagkromme van Becker niet is verschoven, maar dat hij risicovoller is gaan spelen. Zowel
de eerste als de tweede opslag verschuiven naar beneden langs de denkbeeldige opslagkromme. Hierdoor wordt de voorheen te voorzichtige tweede opslag beter, maar verslechtert juist het rendement van
de eerste opslag. Het lijkt erop dat bij Becker niet
alleen de spelkwaliteit na de eerste set sterk is afgenomen, maar dat hierdoor ook zijn afweging van de
juiste mate van risico is verstoord. De verminderde
spelkwaliteit uit zich in de verschuiving van de opslagkromme naar links. De slechte risicoafweging
blijkt uit de niet optimale keuze van de punten op
deze verschoven kromme.
Winstmogelijkheden
Naast de constatering dat Beckers spel niet altijd rationed was, is het natuurlijk interessant om te weten in
hoeverre de spelers hun resultaat hadden kunnen verbeteren als ze evenwichtiger risico en voordeel van
hun opslag hadden afgewogen. Zoals gezegd is voor
een reconstructie van de optimaliseringsbeslissing
van de spelers echter de volledige opslagkromme
vereist. Enigszins speculatief is deze in figuur 3 en 4
ingetekend. Omdat Becker duidelijk een terugval in
spelvorm had na de eerste set zijn voor hem twee
krommen getekend. Bl voor Becker in de eerste set
en B2 voor Becker in set 2, 3 en 4.
Tabel 3 geeft aan welke score maximaal mogelijk
zou zijn geweest bij deze opslagkrommen en vergelijkt dit maximum met het feitelijk behaalde resultaat.
Sampras had volgens deze reconstructie 2%-punten
meer rendement van zijn opslag kunnen hebben.
Voor Becker was deze winstmogelijkheid respectievelijk 3%-punten in de eerste set en 4%-punten vanaf
de tweede set. Deze verschillen lijken klein, maar
bedacht moet worden dat iedere game uit meerdere
services bestaat. Met name als het resultaat van een
opslag dicht bij 50% ligt, betekent een lichte verbetering van het rendement een forse verkleining van de
ESB 19-7-1995
Tabel 3- Feitelijk en maximaal baalbaar resultaat, in
P!G
Pis
P2°
resultaat
kans op
break
55
49
38
47
64
79
3
Feitelijk
61
77
4
Becker
(set 1)
Maximaal
Feitelijk
55
51
35
40
57
53
75
5
72
8
Becker 2
Maximaal
40
37
40
52
42
30
57
53
33
43
Sampras
Maximaal
(set 2, 3 en 4) Feitelijk
kans dat de speler die aan service is de game als geheel verliest (een ‘break’)3. Het feitelijk rendement
van Sampras van 77% betekent 4% kans op een door-
braak van zijn service. Een verhoging naar 79% – die
theoretisch haalbaar lijkt – verlaagt deze kans naar
3%. Voor Becker zou een rendementsverbetering van
53% naar 57% echter geleid hebben tot een verkleining van de kans op een break van 43% naar 33%.
Dit was waarschijnlijk niet genoeg geweest voor de
overwinning, maar wellicht wel voor een vijfde set.
Conclusies
Bij tennis is niet alleen een goede technische spelkwaliteit, maar ook een juiste afweging van het risico
bepalend voor het wedstrijdresultaat. Een tennisspeler moet inzicht hebben in zijn spelkwaliteiten. Hoewel de beloningen in dit spel omvangrijk zijn en de
spelers tot de meest getalenteerden en meest ervaren
tennissers behoren, is met name in het geval van
Becker geconstateerd dat de keuze voor een bepaalde felheid van de opslag niet optimaal is.
De conclusie na analyse van deze Wimbledonfinale is dan ook dat met name spelers met terugvallende prestaties niet in staat zijn een optimale opslag
te kiezen. Door een verschuivende opslagkromme
kunnen zij niet meer vertrouwen op hun gebruikelijke opslagstramien en vervallen ze in een inefficiente
opslag. Omdat met name bij tegenvallende prestaties
een lichte verbetering van het rendement van de opslag erg veel bij kan dragen aan het verkleinen van
de kans op een break, lijkt het van belang dat juist in
een dergelijk geval dit evenwicht snel wordt hervonden. Wellicht zien we daarom in de toekomst net als
bij het schaatsen de coach met bordjes vanaf de tribune aanwijzingen geven over de gewenste scherpte
van de opslag.
Met name de bevindingen in dit artikel met betrekking tot de dubbele fout zijn interessant. Hoewel
het grote aantal dubbele fouten door de meeste mensen als een zwak punt in het spel van Becker gezien
wordt, blijkt dat hij, vanuit de rationaliteitsoptiek, beter nog meer dubbele fouten had kunnen slaan. Per
saldo zou hem dit, als gevolg van de extra scherpte
van zijn opslag, extra punten hebben opgeleverd.
Lex Borghans
2. Ook deze verschillen zijn overigens niet volledig significant. Op basis van een t-toets blijkt de onbetrouwbaarheid
respectievelijk 0,28 en 0,22 te bedragen.
3. Zie Steward, Game, Set and Match, Londen, 1989.