Nobelprijs voor tijdreeksanalyse
Aute ur(s ):
Jacobs, J.P.A.M. (auteur)
Kuper, G.H. (auteur)
Sterken, E. (auteur)
De auteurs zijn verb onden aan de Faculteit der Economische Wetenschappen van de Rijksuniversiteit Groningen en hebb en tijdens een nake
Workshop in Maastricht in 1987 uit eerste hand van Robert Engle kennis kunnen nemen van de met een Nobelprijs b eloonde inzichten.
j.p.a.m.jacob s@eco.rug.nl
Ve rs che ne n in:
ESB, 88e jaargang, nr. 4416, pagina 494, 17 oktober 2003 (datum)
Rubrie k :
Tre fw oord(e n):
w etenschap
De Nobelprijs voor de economie gaat dit jaar naar Clive W.J. Granger en Robert F. Engle.
Granger en Engle hebben nieuwe statistische methoden ontwikkeld om eigenschappen van economische tijdreeksen te karakteriseren.
Tijdreeksen worden traditioneel veel gebruikt in de macro-economie en de financiële economie, maar staan tegenwoordig ook in andere
disciplines van de economische wetenschappen, zoals de marketing, in de aandacht. Granger en Engle staan bekend om hun ingenieuze,
maar gemakkelijk toepasbare, gedachten over tijdreeksen. Het succes van de toepasbaarheid is ongetwijfeld een overweging geweest om
de prijs aan hen toe te kennen.
Ofschoon het werk van Granger en Engle tegenwoordig tot de standaard gereedschapskist van empirisch economen behoort, is de
materie vrij technisch van aard. In dit artikel zullen we de concepten uitleggen aan de hand van eenvoudige voorbeelden.
Niet-stationariteit en coïntegratie
Het werk van Granger bespreken we vanuit een macro-economisch perspectief. Tijdreeksen van bijvoorbeeld de particuliere consumptie
en het bruto binnenlands product volgen veelal een oplopende trend, waarbij tijdelijke schokken het langetermijnniveau beïnvloeden.
Naast een eenvoudig te onderkennen zogenaamde deterministische trend bevatten de reeksen veelal een zogenaamde stochastische
trend: na een schok heeft de niet-stationaire reeks geen neiging om naar een voorspelbare lineaire trend terug te keren. Als nietstationaire reeksen worden gebruikt in econometrische modellen, kan het probleem van schijncorrelatie optreden1. Een klassiek
voorbeeld is dat het bruto binnenlands product van een land en de cumulatieve regenval beide een trendmatig oplopend patroon
vertonen, waardoor lineaire regressie een significant verband suggereert dat uiteraard niet door theorie ondersteund wordt.
Tot in het midden van de jaren tachtig van de vorige eeuw was het gebruikelijk om deze niet-stationaire tijdreeksen als groeivoeten in
econometrische modellen op te nemen. Hoewel hiermee inzicht werd verkregen in de dynamiek op de korte termijn tussen bijvoorbeeld
variabelen als particuliere consumptie en inkomen, ging informatie over mogelijke langetermijnverbanden verloren. De economische
theorie is evenwel in staat om ‘hardere’ uitspraken over de lange termijn dan over de korte termijn te doen.
Er is een uitzondering op de regel dat schijncorrelatie tussen twee niet-stationaire variabelen optreedt. Deze uitzondering doet zich voor
als twee tijdreeksen dezelfde stochastische trend hebben. In dat geval is een lineaire combinatie van deze niet-stationaire tijdreeksen
stationair. Dat wil zeggen dat er een voorspelbare langetermijnrelatie tussen consumptie en inkomen bestaat, omdat beide reeksen een
zogenaamd gemeenschappelijke stochastische trend bezitten: de reeksen zijn gecoïntegreerd2. Economisch bezien bestaat er een
langetermijnevenwicht tussen de reeksen: consumptie en inkomen hangen op een voorspelbare manier samen. Niet alleen op de lange
termijn vormen bijvoorbeeld consumptie en inkomen een relatie, ook op de korte termijn zijn de bewegingen in consumptie en inkomen
verbonden. De relatie tussen de reeksen kan worden beschreven in een zogenaamd fouten-correctiemodel (het ‘Granger representation’
theorema): het systeem gevormd door consumptie en inkomen hoeft niet per se in evenwicht te zijn, maar heeft wel de neiging te
tenderen naar het langetermijnevenwicht dat door de gecoïntegreerde relatie voorgeschreven wordt. Coïntegratie en foutencorrectiemodellen hebben geleid tot een vloedgolf van empirische toepassingen, niet alleen in traditionele macromodellen zoals jade van
het cpb, maar ook in arbitragetoetsen op bijvoorbeeld rendementen of wisselkoersen. De toepassingen van de begrippen stationariteit en
coïntegratie zijn legio. Overal waar de economische theorie duidelijke voorschriften geeft over lange-termijnverbanden tussen variabelen
(en naderhand is dit ook aangetoond voor meer dan twee variabelen), en tijdreeksen van de variabelen voorhanden zijn, kan men met
behulp van de tijdreeksmethodologie de theorie toetsen.
Geclusterde volatiliteit
In de financiële wereld zijn hoogfrequente tijdreeksen voor bijvoorbeeld rendementen en beursomzetten ruim voorhanden. Naarmate de
frequentie van de data toeneemt, neemt ook de kans op seriële samenhang van de volatiliteit van de reeksen toe. Turbulente perioden
rondom bijvoorbeeld een beurskrach worden afgewisseld met rustiger perioden. figuur 2 (de bovenste lijn) laat een voorbeeld zien waarin
de volatiliteit van de AEX-dagkoers over de periode 1983-2002 geclusterd is in de tijd. Engle heeft voorgesteld het regressiemodel voor
de gemiddelde ontwikkeling van de reeks in kwestie uit te breiden met een vergelijking voor de variantie van de storingstermen van de
‘gemiddelden’-vergelijking3. In deze variantievergelijking wordt het systematische patroon in de variantie van de storingsterm verklaard
uit één of meerdere vertraagde storingstermen van de ‘gemiddelden’-vergelijking. Het autoregressieve karakter van de varianties geeft
aan dat de variantie conditioneel op waarden uit het verleden is: dit model wordt het AutoRegressive Conditional Heteroskedastity
(ARCH) model genoemd. De gegeneraliseerde versie (Generalized ARCH of kortweg GARCH) is in de praktijk de meest populaire
variant4. In het GARCH-model komen in de variantievergelijking niet alleen de vertraagde storingstermen (van de ‘gemiddelden’vergelijking) voor, maar ook één of meer vertraagde conditionele varianties.
Figuur 2. AEX dagkoers over de periode 1983-2002 en de conditionele variantie uit het GARCH(1,1)-model
Allerlei financieel-economische tijdreeksen, zoals beurskoersen en wisselkoersen, kunnen met de (g)ARCH- techniek beter beschreven
worden. Engle’s baanbrekende werk kent dus ook allerlei praktische toepassingen, zoals het berekenen van volatiliteit van
beleggingsportefeuilles.
Tot slot
De analyse van economische tijdreeksen is en blijft een lastige, maar uitdagende bezigheid. Negeren van bepaalde eigenschappen van
tijdreeksen, zoals stationariteit en geclusterde volatiliteit, leidt tot foute conclusies. De econometrische methoden waarvoor Engle en
Granger zijn beloond met de Nobelprijs, maken het mogelijk betrouwbaar onderzoek te doen naar langetermijn evenwichtsprocessen en
naar volatiliteit in hoogfrequente (financiële) data.
Jan Jacobs, Gerard Kuper en Elmer Sterken
Een voorbeeld kan het concept coïntegratie verduidelijken. In figuur 1 staan tijdreeksen voor de consumptie (c) en het bruto
binnenlands product (y). De reeksen luiden in constante prijzen van 1995 en zijn vrij van seizoensinvloeden.
Figuur 1. Consumptie (c) en het bruto binnenlands product (y) van Nederland, 1977-2003, in natuurlijke logaritmes
Beide reeksen zijn niet-stationair en hebben zo op het oog een vergelijkbare trend. Engle en Granger hebben toetsen
ontwikkeld om te beoordelen of ln(c) en ln(y) inderdaad zijn gecoïntegreerd. Uit die toets volgt een gecoïntegreerde
(langetermijn) relatie van de volgende vorm:
ln(c) – 0,873 ln(y) – 1,168 = 0
Op de lange termijn neemt het logniveau van de consumptie met 0,873 procent toe als het logniveau van het bbp met één
procent stijgt. Deze gecoïntegreerde relatie is stationair en kan worden opgenomen in een kortetermijnvector foutencorrectiemodel:
Dln(c) = -0,081 Dln(c-1) + 0,040 Dln(y-1) – 0,125 [ln(c-1) – 0,873 ln(y-1) – 1,168]
Dln(y) = 0,552 Dln(c-1) – 0,382 Dln(y-1) – 0,102 [ln(c-1) – 0,873 ln(y-1) – 1,168]
In dit model is D de verschiloperator, en dus Dln(c) = ln(c) – ln(c-1) een benadering voor de groeivoet van de consumptie is. Als
consumptie en bbp op de korte termijn niet in evenwicht zijn, dan is er alsnog een tendentie naar het evenwicht. Bijvoorbeeld
als de consumptie te hoog is, dan is de term tussen vierkante haken positief, en tendeert de consumptie naar de evenwichtige
waarde, die door de langetermijn, gecoïntegreerde vergelijking voorgeschreven wordt.
Ter illustratie van de modellen met geclusterde volatiliteit schatten we een garch-model voor de ontwikkeling van de aex
dagkoers (zie figuur 2, bovenste reeks). In dit voorbeeld is de ‘gemiddelden’-vergelijking eenvoudig: de verandering van de aexindex is gelijk aan constante plus een storingsterm:
Dln(aex) = a + et.
Schatting onder de veronderstelling dat de fouten et/(ht)-1/2 standaardnormaal verdeeld zijn, levert het volgende model op:
ht = 2,66 x 10-6 + 0,084e2 + 0,899ht-1,
= t-1
waarbij ht de conditionele variantie representeert en et de storingsterm uit de ‘gemiddelden’-vergelijking.
Van beide termen komt slechts één vertraging in het model voor, zodat dit een garch (1,1)-model genoemd wordt, oftewel een
eerste-orde garch-model. De derde parameter in de vergelijking voor de conditionele variantie ht is van belang voor bijvoorbeeld
het voorspellen van beursrendementen: de schatting daarvan, in dit voorbeeld 0,899, betekent dat negentig procent van de
variantie de volgende dag nog steeds aanwezig is (clustering van volatiliteit). figuur 2 (de onderste lijn) laat zien dat de
conditionele variantie ht in turbulente perioden aanzienlijk hoger is dan in periode van relatieve rust.
1 C.W.J. Granger en P. Newbold, Spurious regressions in econometrics, Journal of Econometrics, 1974, blz. 111-120.
2 Granger heeft dit in een aantal publicaties in de jaren tachtig van de vorige eeuw laten zien, met als belangrijkste : R.F. Engle en C.W.J.
Granger, Co-integration and error-correction: representation, estimation and testing, Econometrica, jrg 55, 1987, blz. 251-276.
3 R.F. Engle, Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation, Econometrica,
jrg. 50, 1982, blz. 987-1007.
4 T. Bollerslev, Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity, Journal of Econometrics, jrg. 31, 1986, blz. 307-327 en S.J.
Taylor, Modelling financial time series, Wiley, Chichester, 1986.
Copyright © 2003 – 2004 Economisch Statistische Berichten (www.economie.nl)