De vooruitzichten voor het nieuwe
biljet van vijftig
PROF. DR. J. S. CRAMER*
Bij de introductie van het nieuwe biljet van vijftig gulden
rijst de vraag of het dit zonnige exemplaar beter zal vergaan
dan zijn voorganger. Wij hebben immers al eens eerder zo’n
biljet gekend, maar dat heeft nooit een grote circulatie bereikt. Het werd dan ook in 1960 uit de omloop genomen,
vrijwel tegelijk met het al even onfortuinlijke biljet van twintig gulden. Zijn beste tijd had het oude vijftigje zo rond 1955.
Daarbij moet wel worden bedacht dat het vijftigje uit die tijd
tegen het huidige prijspeil overeen komt met rond f. 200, zodat een vergelijking enigszins mank gaat. Misschien kunnen
wij ons beter bedienen van een vrij speculatieve redenering
dan van het historisch precedent.
De reden dat munten en bankbiljetten in verschillende
coupures in omloop worden gebracht, is dat daardoor sterk
uiteenlopende bedragen ieder met behulp van een klein aantal betaalmiddelen kunnen worden betaald, zo nodig met
overbetaling en het teruggeven van wisselgeld. Voor het
nieuwe biljet werd toegevoegd had men voor al de tweeduizend bedragen tussen niets en f. 100 (afgerond op vijf cent),
nooit meer dan zeven stuks nodig. Dit is prettig voor het betalende publiek, en ook voor de autoriteiten, want hoe beter
het muntstelsel in dit opzicht werkt, des te minder munten
en bankbiletten behoeft men in totaal aan te maken, wat
kostbare verspilling voorkomt.
Laten wij nu eens aannemen dat het publiek de geboden
mogelijkheden ten voile gebruikt, en dat betaler en ontvanger altijd zo te werk gaan dat er telkens, zo nodig met wisselen, met iedere betaling zo min mogelijk munten en biljetten
zijn gemoeid. Een muntstelsel beslaat uit j = 1,2, . J coupures
(doorgaans 10 a 1 5), met een nominale waarden w(j); een bedrag x kan worden betaald met iedere combinatie van positieve en negatieve gehele getallen n(j) die voldoet aan de gelijkheid:
Efficiente of optimale betaling houdt in dat de n(j) zo worden gekozen dat
zo klein mogelijk is. Dit minimumprobleem heeft altijd een
oplossing, en soms meer dan een, zoals men voor een eenvoudig voorbeeld zelf kan nagaan. Zo kan men vijftien cent
gepast betalen met een dubbeltje en een stuiver, of niet gepast met een kwartje en een dubbeltje wisselgeld. In beide gevallen is het (minimale) aantal stuks n gelijk aan 2. Bij sommige bedragen, zoals f. 37,85, is de oplossing echter niet zo
vanzelfsprekend, Als men zeker van zijn zaak wil zijn, moet
1160
men een besliskundige vragen een algoritme voor de oplossing voor dit probleem te bedenken. Met behulp van een dergelijk computerprogramma van de hand van J. de Ruiter kan
bij een gegeven muntstelsel voor ieder bedrag worden uitgerekend welke de optimale betalingswijzen zijn. Voor iedere
munt j en ieder bedrag x kunnen wij dan tevens de frequence
b:(x) aflezen, dat is |n(j)|, ofte wel het aantal stuks van coupure j dat bij efficiente betaling van x is betrokken. Zijn er
meer oplossingen, dan nemen wij aan dat ze alien even vaak
voorkomen, en nemen het gemiddelde. In het zo juist gegeven voorbeeld met twee oplossingen hoort bij het bedrag van
vijftien cent een frequentie van 0,5 voor de stuiver, van 1
voor het dubbeltje en van 0,5 voor het kwartje.
Hoe groot deze frequenties bj(x) zijn, hangt af van het bedrag x en van de positie van de coupure j in het muntstelsel.
Van de stuiver heeft men er bij voorbeeld altijd hetzij nul,
hetzij een nodig, maar nooit twee omdat men dan beter een
dubbeltje kan gebruiken. Aldus stelt de afstand tot de naasthogere coupure een bovengrens aan de frequentie. Ook zal
het duidelijk zijn dat de frequenties in een reeks opeenvolgende bedragen een regelmatig patroon vertonen: voor de
stuiver zouden wij bij voorbeeld 0, 1,0, 1,.. vinden, en een
gemiddelde frequentie van 0,5, ware het niet dat het kwartje
de regelmaat van deze reeks onderbreekt. Het gemiddelde
van de frequenties daalt daardoor tot 0,4, en het patroon
wordt iets ingewikkelder; maar toch blijft gelden dat er in
een reeks opeenvolgende bedragen zijn in iedere groep van
vijf opeenvolgende bedragen, te beginnen bij het begin. De
gemiddelde frequentie van 0,4 voor stuivers geldt aldus praktisch voor alle bedragen, ongeacht de grootteverdeling van de
betalingen, mits er althans geen voorkeur voor ronde bedragen zou bestaan.
Beschouwen wij nu papiergeld en bedragen die alle op f. 5
zijn afgerond dan geldt iets dergelijks, maar de intervallen
van opeenvolgende bedragen waarna hetzelfde constante patroon optreedt (of beter gezegd: waarna een constante gemiddelde frequentie optreedt) zijn natuurlijk veel groter.
Voor het biljet van f. 5 treedt het repeterend patroon op na
vijf betalingen, dus is het interval f. 25, voor de biljetten van
f. 10 en f. 25 gebeurt dat na twintig bedragen, en is het interval f. 100. Als wij de frequentie van de biljetten van f. 5, f. 10
en f. 25 bepalen voor alle bedragen tot f. 100, dan kunnen
wij er zeker van zijn dat iedere volgende tranche van f. 100
precies hetzelfde beeld oplevert, zij het met toevoeging van
biljetten van f. 100 of zelfs f. 1.000. De theoretische gemiddelde frequenties die wij aldus vinden blijken nu in dit geval
* De auteur is als hoogleraar wiskundige economic en econometric
verbonden aan de Universiteit van Amsterdam.
enige overeenkomst te vertonen met de uitstaande aantallen
biljetten per ultimo 1981, zoals die in het jaarverslag van De
Figuur. Gebruiksfrequentie van het bankbiljet van f. 100 bij
ejficiente betaling van de bedragen tussen f. 5 en /. 1000.
Nederlandsche Bank zijn vermeld. Wij geven een staatje:
Coupure
Aantal biljetten per
31december 1981
miljoenen stuks
Gemiddelde
frequentie
Quotient,
in mln.
f. 5
f. 10
f. 25
48.1
66.0
79.5
0,400
0,550
0,850
120
120
94
Deze overeenstemming moet met enig wantrouwen wor-
den bezien, want als wij er andere couperus bij betrekken
wordt het beeld minder mooi. Nochtans zou dit enige aanwijzing kunnen geven dat:
1. de betalingen bij benadering efficient geschieden; dat
2. de samenstelling van de bankbiljettencirculatie de behoeften van het betalingsverkeer volgt; en dat defhalve
3. alle couperus even snel circuleren.
100
Als wij bovendien aannemen dat een bankbiljet gemiddeld
per jaar zeg 30 keer bij een betaling is betrokken, valt ook
nog uit het staatje op te maken dat er jaarlijks in ons land 2,8
200
300
«0
500
600
700
Toelichting: Getrokken lijn: zonder f. 50. Stippellijn: f. 50.
Gearceerd: met bovendien f. 500.
a 3,6 mrd. betalingen met bankpapier plaatsvinden. Dit
komt overeen met 11 a 15 betalingen per week per gezinshuishouding; in feite moet het aantal bij gezinnen lager liggen, omdat lang niet alle contante betalingsverkeer in gezins-
tot voor kort gold, tot vijf toe bij bedragen rond de f. 500, om
huishoudingen plaatsvindt.
verderop weer af te nemen doordat men tegen het biljet van
Herhalen wij nu de berekening na toevoeging van het biljet
f. 1.000 gaat wisselen. Geen wonder dat er zoveel honderdjes
van f. 50 aan het muntstelsel, dan kunnen wij de volgende
in omloop zijn — eind 1981 122 miljoen stuks. In dit geval
kunnen wij echter niet, zoals bij de andere biljetten, met een
gemiddelde frequentie werken; daarvoor wisselt de frequentie te sterk over een te groot interval. Voor een nadere berekening zouden wij iets moeten weten over de verdeling van
de feitelijk betaalde bedragen naar grootte tussen nul en duizend gulden; helaas is daar niets van bekend.
vergelijkingen maken:
Gemiddelde frequentie
zonder f. 50
r. 5
f. 10
r. 25
f. 50
met f. 50
0,400
0,550
0,850
—
0,400
0.517
0,383
0,375
Desondanks kunnen wij nog wel iets zeggen over de gevolgen van de introductie van het biljet van f. 50, en wel door
de bijbehorende frequenties in de figuur met een Stippellijn
weer te geven. Dit maakt maar bij een enkel hoekje verschil,
zoals men ziet. Geheel anders zou het resultaat echter zijn
Zoals men ziet verdringt het nieuwe biljet in hoofdzaak
het huidige biljet van f. 25. Uitgaande van de cijfers van eind
1981 zouden er 44 miljoen minder biljetten van f. 25 in omloop hoeven te zijn, waartegenover 38 miljoen nieuwe biljetten van f. 50 staan wanneer dit laatste geheel is ingeburgerd.
indien er bovendien een bankbiljet van f. 500 zou worden ingevoerd: dan verkrijgt men de gearceerde frequenties. De behoefte aan honderdjes neemt drastisch af. Volgens de mededeling van dr. Duisenberg in het televisiejournaal denkt men
bij de Bank echter eerder aan een biljet van f. 250. Dit zou
De totale beperking van het aantal biljetten in omloop van
het honderdje nog veel verder terugdringen — de frequentie
alle coupures door de introduktie van het f. 50 biljet is dus
komt dan niet meer boven de een. Het voornaamste verschil
met het biljet van f. 500 is echter het aantal nieuwe biljetten
dat moet worden aangemaakt. Bij f. 250 ligt dit vermoedelijk
(veel) hoger dan bij f. 500, maar dit hangt zozeer af van de
verdeling van betalingen tussen f. 100 en f. 1.000 dat er niet
veel met stelligheid over kan worden gezegd.
maar betrekkelijk gering.
Zijn er ook gevolgen voor het biljet van f. 100? Voor dit
biljet moeten wij het lange traject tot f. 1.000 bezien; geen
ander biljet moet in ons muntstelsel een zo lang traject bestrijken, en geen ander bereikt zulke hoge frequenties. Zoals
men in de figuur aan de bovenste, getrokken lijn kan zien,
neemt de frequentie van het honderdje in het stelsel zoals dat
ESB 27-10-1982
J. S. Cramer
1161