Dit is de bijlage bij dit artikel.
1. Prijselasticiteit is niet de helling van de vraagcurve
Als we de vraag \(q\) schrijven als een functie \(q(p)\) van de prijs \(p\), dan is de helling gelijk aan \(q^ʹ(p)\), en is de elasticiteit gelijk aan \(q^ʹ(p)p/q(p)\). Een constante elasticiteit betekent dat \(q^ʹ(p)p/q(p)\) niet varieert met \(p\), terwijl een constante helling impliceert dat \(q^ʹ(p)\) niet varieert met \(p\). In het algemeen is het onmogelijk dat beide constant zijn, behalve in het randgeval dat de vraag volledig inelastisch is (dus als \(q^ʹ(p) = 0\)) of wanneer de vraagcurve door de oorsprong gaat, maar in dit geval wordt nooit een positieve hoeveelheid gevraagd bij een positieve prijs.
2. Een prijsstijging van 200 procent leidt niet tot nul consumptie bij een elasticiteit van –0,5
De elasticiteit meet alleen de verandering van de hoeveelheid bij een infinitesimale – een heel kleine – verandering van de prijs. De elasticiteit kan niet worden gebruikt om bij grote veranderingen van de prijs de verandering in de vraag te schatten. Om dit te illustreren veronderstellen we een simpele vraagfunctie met een constante elasticiteit van –0,5: \(q(p) =\left(\frac{a}{p}\right)^{0,5}\), waar \(q(p)\) de vraag is en \(a\) een positieve constante. Stel nu dat we de prijs verdrievoudigen van \(p\) naar \(p^* = 3p\). De vraag is dan \(q^* = \left(\frac{a}{3p}\right)^{0,5}\). Het eerste belangrijke inzicht is: de vraag is niet gelijk aan nul geworden. Met hoeveel procent is de vraag dan gedaald? Het antwoord is: \(\frac{q^* – q}{q} =\left(\frac{a}{3p}\right)^{0,5}/\left(\frac{a}{p}\right)^{0,5} – 1 = \left(1/3^{0,5}\right) – 1 ≈ –42,\!3\) procent. Dus bij een prijsstijging van 200 procent wordt niet de alcoholmarkt drooggelegd als de prijselasticiteit –0,5 is. Bij een vraagfunctie met een constante elasticiteit bestaat bovendien geen eindig prijsniveau waarbij de vraag naar alcohol nul wordt.
3. Berekeningen consumentensurplus
De voorkeuren voor alcoholconsumptie \(q\) en een composiet goed \(c\) (alle overige consumptie) worden beschreven door een quasilineaire nutsfunctie \(v(q, c) = u(q) + c\). De budgetrestrictie is \(pq + c = m\), waarbij \(m\) het (exogene) inkomen is en \(p\) de relatieve prijs \(q\) in termen van \(c\) waarvan de prijs is genormaliseerd op \(1\). Onder deze aannames is het consumentensurplus gelijk aan het bedrag dat consumenten bereid zijn te betalen om een totaalverbod op alcohol af te wenden. De consument maximaliseert zijn nut, gegeven zijn budgetrestrictie. De eerste-ordevoorwaarde geeft de vraagcurve: \(p = u'(q)\). Deze vraagcurve kunnen we vervolgens inverteren om de gevraagde hoeveelheid \(q = [u’]^{–1}(p)\) te schrijven als een functie van de prijs. In het vervolg kiezen we er echter voor om te werken met de eerste vraagfunctie, omdat deze eenvoudiger laat zien hoe we het consumentensurplus bepalen. Dit komt overeen met de presentatie in tabel 2.
Als in het huidige evenwicht de prijs (hoeveelheid) gelijk is aan \(p_e (q_e)\), dan is het consumentensurplus gelijk aan:
(1)$$CS=\int_{0}^{q_{e}}\left( u^{\prime }(q)-p_{e}\right) \mathrm{d}q$$
Net als het RIVM nemen we aan dat, in het huidige evenwicht, de prijselasticiteit van de vraag gelijk is aan –0,5. In het evenwicht gelden dus de volgende twee relaties:
(2)$$p_{e}=u^{prime }(q_{e})$$
(3)
$$\left. \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}p}\frac{p}{q}\right\vert _{p_{e},q_{e}}=\frac{u^{\prime }(q_{e})}{u^{\prime \prime }(q_{e})q_{e}}=-\frac{1}{2}$$
Daarnaast gebruiken we de schatting van het RIVM die stelt dat de totale omzet die wordt verdiend met de verkoop van alcoholconsumpties bij de huidige prijzen gelijk is aan 3,8 miljard euro:
(4)$$p_{e}q_{e}=3.800$$
Op basis van deze gegevens berekenen we nu het consumentensurplus voor verschillende nutsfuncties.
(i) Lineaire vraagfunctie (RIVM-rapport)
Maximalisatie van de nutsfunctie \(u(q) = q(aq + b)\) genereert de volgende lineaire vraagfunctie: \(p = 2aq + b\). Hierbij is \(2a < 0\) de helling en \(b\) de verstikkingsprijs (de prijs waarbij geen alcohol meer wordt geconsumeerd). Op basis van de vergelijkingen (2) en (3) kunnen we oplossen voor \(a\) en \(b\): \(a = –p_e/q_e\) en \(b = 3p_e\). Het consumentensurplus is dan gelijk aan:
(5)$$CS=\int_{0}^{q_{e}}\left( -2\frac{p_{e}}{q_{e}}q+2p_{e}\right) \mathrm{d}q=p_{e}q_{e}=3.800$$
Deze schatting komt overeen met die in het RIVM-rapport.
(ii) Kwadratische vraagfunctie
We veronderstellen nu een iets algemenere nutsfunctie: \(u(q) = q(dq^2 + aq + b)\). De vraagfunctie is in dit geval kwadratisch: \(p = 3dq^2 + 2aq + b\). Op basis van de vergelijkingen (2) en (3) kunnen nu maar twee van de drie parameters worden bepaald. Ter illustratie doen we daarom de extra aanname dat de maximale bereidheid om te betalen (de verstikkingsprijs) gelijk is aan viermaal het huidige prijsniveau: \(b = 4p_e\). Het RIVM-rapport veronderstelt dat deze gelijk is aan driemaal het huidige prijsniveau. Vergelijkingen (2) en (3) kunnen dan worden gebruikt om \(a\) en \(d\) te bepalen: \(a = –2p_e/q_e\), \(b = 4p_e\), \(d = p_e/(3q_e^2)\). Het consumentensurplus is dan gelijk aan:
(6)$$CS=\int_{0}^{q_{e}}\left( \frac{p_{e}}{q_{e}^{2}}q^{2}-\frac{4p_{e}}{q_{e}}q+3p_{e}\right) \mathrm{d}q=\frac{4}{3}p_{e}q_{e}=5.067$$
Merk op dat, als was verondersteld dat de verstikkingsprijs gelijk zou zijn aan driemaal het huidige prijsniveau (zoals het RIVM doet), de schattingen overeen zouden komen.
(iii) Semi-elastische vraagfunctie
De nutsfunctie is in dit geval gegeven door \(u(q) = –a\mathrm{e}^{–bq}\). De vraagfunctie is nu gelijk aan: \(p = ab\mathrm{e}^{–bq}\). Gebruik wederom vergelijkingen (2) en (3) door op te lossen voor \(a\) en \(b\): \(a = \mathrm{e}^2p_e{q_e}/2\) en \(b = 2/q_e\). Het consumentensurplus is nu gelijk aan:
(7)$$CS=\int_{0}^{q_{e}}p_{e}\left( e^{2-2q/q_{e}}-1\right) \mathrm{d}q=\frac{1}{2}\left( e^{2}-3\right) p_{e}q_{e}=8.339$$
(iv) Iso-elastische vraagfunctie
De nutsfunctie is \(u(q) = a(q^{1–b} – 1)/(1 – b)\). De vraagfunctie is nu gelijk aan:
\(p = aq^{–b}\). De waarden voor \(a\) en \(b\) kunnen worden gevonden door het oplossen van de vergelijkingen (2) en (3): \(a = p_eq_e^2\) en \(b = 2\). Deze vraagfunctie in combinatie met een elasticiteit van –0,5 leidt ertoe dat het consumentensurplus onbegrensd is:
(8)$$\lim_{k\rightarrow 0}CS(k)=\lim_{k\rightarrow 0}\left(\int_{k}^{q_{e}}p_{e}\left( q_{e}^{2}q^{-2}-1\right) \mathrm{d}q\right)=\lim_{k\rightarrow 0}\left[ -p_{e}q_{e}^{2}q^{-1}-p_{e}q\right]_{k}^{q_{e}}$$
$$=\lim_{k\rightarrow 0}\left( -2p_{e}q_{e}+p_{e}\frac{q_{e}^{2}}{k}+p_{e}k\right) =\infty$$
Categorieën