Verdelingsproblemen uit
Bijbel en Talmoed
E.E.C. van Damme*
I
n dit artikel warden Verdelingsproblemen uit de oudheid met behulp van de
moderne speltheoriegeanalyseerd. Salomo’s oordeel blijkt voor verbetering vatbaar,
maar faillissementsproblemen warden in de Babylonische Talmoed met een zeer
doelmatige beslissingsregel opgelost.
In dit artikel beschouw ik enkele verdelingsproblemen uit de Oudheid in een modern perspectief.
In het eerste deel bespreek ik Salomo’s wijze oordeel zoals verhaald in het Oude Testament. Het probleem dat hier behandeld wordt, is hoe de waarheid
te achterhalen en de toewijzing van een kind aan de
rechtmatige moeder te realiseren. Ik zal beargumenteren dat Salomo’s methode imperfect is omdat zij niet
werkt als de moeders rationed zijn (in de moderne
economische betekenis van het woord), en ik zal een
methode aangeven die wel effectief is bij zulke rationele moeders.
In het tweede deel beschouw ik een aantal faillissementsproblemen zoals besproken in de Babylonische Talmoed. De Talmoed geeft voor een aantal specifieke numerieke voorbeelden aan hoe de boedel
verdeeld zou moeten worden. Echter, de algemene
regel die aan de uitkomsten ten grondslag ligt, wordt
niet gegeven en is ook niet meteen intu’itief duidelijk.
Ik laat zien dat er inderdaad een regel bestaat die de
uitkomsten rationaliseert en dat er goede argumenten
voor deze regel te geven zijn.
In beide delen blijkt het belang van de speltheorie, de moderne wiskundige theorie voor het analyseren van conflictsituaties die in de economische wetenschap meer en meer toepassing vindt. De twee
voorbeelden uit dit artikel laten zien tot wat voor inzichten deze theorie kan leiden1.
ene en een helft aan de andere”. Daarop zegt de echte moeder tot de koning (omdat haar moedergevoel
was opgewekt): “Met Uw verlof, mijn heer, geef haar
het levende kind, maar doodt het in geen geval”. De
ander zegt: “Het zal noch van mij, noch van U zijn,
snijdt door.” Salomo beveelt dan het levende kind
te geven aan die vrouw die bereid was het kind af
te staan, omdat zij daardoor geopenbaard heeft de
moeder te zijn.
Hoewel de vondst van Salomo schitterend is,
moeten we, denk ik, toch vaststellen dat deze van
beperkt belang is: rechters in de huidige tijd zouden
niet ver komen als zij dezelfde methode zouden gebruiken om de waarheid aan het licht te brengen.
Onechte moeders zouden snel leren op Salomo’s
voorstel precies zo te reageren als de echte moeder
deed in het bijbelverhaal en de waarheid zou op
deze manier niet aan het licht komen. Anders gezegd, de valse moeder in het bijbelverhaal was geen
waardige tegenspeler van Salomo. Hoewel de Bijbel
niet verhaalt hoe het met haar afloopt, mag men aannemen dat zij voor haar gedrag gestraft werd. Als zij
rationed was geweest, in het bijzonder als ze rationele verwachtingen had gehad, was ze niet aan de
verwisseling begonnen.
Beschouwen we daarom de vraag of het in
principe mogelijk is de waarheid te vinden als beide
vrouwen rationed zijn. Als we bereid zijn enige additionele aannames te maken, is het antwoord: “Ja”.
Salomo’s oordeel
In I Koningen 3:16-28 treffen we het prachtige verhaal aan dat de wijsheid van Salomo illustreert. De
plot is als volgt: Twee vrouwen komen bij de koning.
Een van de vrouwen vertelt dat zij beiden kort geleden een kind gebaard hebben. De zoon van de andere vrouw is kort na de geboorte gestorven en de ander heeft toen de kinderen verwisseld. De vrouw die
het levende kind bij zich heeft, beweert natuurlijk dat
de eerste liegt en dat het levende kind haar zoon is.
Om het gekrakeel der vrouwen te beeindigen, beveelt Salomo een zwaard te halen en hij zegt: “Snijdt
het levende kind in tweeen en geef een helft aan de
1176
* De auteur is werkzaam als hoogleraar bij CentER, verbonden aan de Katholieke Universiteit Brabant.
1. Het eerste voorbeeld heb ik overgenomen uit mijn intreerede Informatie, incentives en economische efficiency,
Tilburg University Press, 1990. Zie ook John Moore, Implementation, contracts and renegotiation, hoofdstuk 5 in J.J.
Laffont (red.), Proceedings 6th world congress econometric
society, Cambridge University Press, 1992. Het tweede gedeelte van het artikel is gebaseerd op R.J. Aumann en M.
Maschler, Game Theoretic Analysis of a Bankruptcy Problem from the Talmud, Journal of Economic Theory, 1985,
nr. 36, biz. 195-213, en B. O’Neill, A Problem of Rights Arbitration from the Talmud, Mathematical Social Sciences,
1982, nr. 2, biz. 345-371.
Veronderstel, dat de waarde van het kind in geld
Claims
uitgedrukt kan worden (een typisch economische
Cl
100
maar daarom geen onzinnige aanname). Natuurlijke
aannames zijn verder dat de echte moeder bereid is
meer te betalen (immers het kind draagt de genen
van de echte moeder; voor de andere vrouw heeft
het kind geen reproduktieve waarde); en dat elke
vrouw wel weet welke waarde zij zelf aan het kind
toekent, maar dat zij dit niet weet van de ander. Wat
Salomo in deze situatie kan doen, is het kind veilen
bij opbod. Het is eenvoudig in te zien dat elke vrouw
moet doorgaan met bieden tot de prijs bereikt is die
gelijk is aan de waarde die zij aan het kind toekent.
Het gevolg is, dat de echte moeder het kind krijgt
voor een prijs die gelijk is aan de waarde die de valse moeder aan het kind toekent.
Natuurlijk is bovenstaande procedure niet echt bevredigend. Het is niet goed te verdedigen dat de ech-
te moeder moet betalen om haar eigen kind te verkrijgen. Een kleine modificatie van de procedure kan dit
euvel echter verhelpen. Stel dat Salomo beide vrouwen scheidt en hen (onafhankelijk en) simultaan het
volgende keuzeprobleem voorlegt: men kan het kind
claimen of niet. Als beiden het kind claimen, moeten
beiden een cent betalen en wordt vervolgens het
kind geveild; als slechts een vrouw het kind claimt,
krijgt zij het kind; als beiden het kind niet willen, dan
wordt het met gelijke kans aan een van beiden toegewezen. Onder de natuurlijke aanname dat de echte
moeder minstens een cent meer voor het kind over
heeft dan de andere vrouw, is het voor de echte moe-
der een dominantie strategic het kind te claimen; in
het ongunstigste geval claimt de ander ook, maar
dan wint de echte moeder de veiling. De valse moeder weet dat zij de valse moeder is, en dat de echte
moeder rationed is en dus het kind zal claimen. Het
beste dat zij kan doen is het kind niet claimen, omdat
ze anders een cent verliest. Bijgevolg krijgt de echte
moeder het kind zonder te betalen.
Faillissementsproblemen
In de Babylonische Talmoed (Kethuboth 93a) worden drie faillissementssituaties besproken. Deze
verschillen alleen in de grootte van de te verdelen
boedel B. In elke situatie zijn er drie schuldeisers
(i = 1, 2, 3) die elk een claim Q op de boedel hebben. De claims zijn gelijkwaardig en onbetwistbaar.
Het probleem is dat de boedel niet voldoende groot
is om de claims volledig te honoreren. In concrete is
het probleem ontstaan doordat een man gestorven is
die met drie vrouwen getrouwd was. In het huwe-
lijkscontract van de eerste vrouw staat dat zij recht
heeft op 100 zuz, de tweede heeft een contract dat
haar 200 zuz belooft en de derde heeft een contract
van 300 zuz. De Talmoed bespreekt hoe een boedel
van 100 zuz, respectievelijk 200 zuz, respectievelijk
300 zuz verdeeld zou moeten worden. De Talmoed
stelt in elke situatie een verdeling voor zoals in de
tabel is weergegeven.
C2
200
03
300
331/3
50
50
331/3
75
100
331/3
75
150
deling gehanteerd. De toewijzing is recht evenredig
met de claim: schuldeiser i krijgt 300 * c;/(ci+C2+C3).
Klaarblijkelijk worden dus twee geheel verschillende
principes gehanteerd. Bovendien geldt dat de getallen voor het geval dat B = 200 met geen van beide
principes te rijmen zijn: gelijk delen levert ieder 66
2/3 op en evenredig delen leidt tot 33 1/3, 66 2/3 en
100. Twee vragen werpen zich dus op: (i) hoe kunnen de getallen in de tweede rij van de tabel verklaard worden, en (ii) is er een principe dat de gehele tabel kan verklaren?
Een sleutel tot de antwoorden vinden we in een andere passage van de Talmoed (Baba Mezi’a 2a), waarin een tweepersoons verdelingsprobleem behandeld
wordt. Het probleem is: twee mensen houden een gewaad vast. De een zegt: “Het is helemaal van mij”, de
ander zegt: “De helft is van mij (…)”. De oplossing
die de Talmoed presenteert is dat de eerste driekwart
van het gewaad krijgt en de tweede een kwart. Deze
verdeling is als volgt te rationaliseren: verdeel het gewaad in twee gelijke helften. Beide personen hebben
een gelijke claim op de eerste helft. Het is dus redelijk deze helft eerlijk te delen. Op de tweede helft
van het gewaad rust alleen een claim van de tweede
eiser. Het is dus redelijk deze helft volledig aan hem
toe te wijzen. Deze procedure leidt ertoe dat inderdaad eenvierde aan de eerste en drievierde aan de
ander wordt toegewezen. De algemene regel in het
tweepersoonsgeval is dus: gelijke verdeling van het
stuk dat door beiden geclaimd wordt. Met andere
woorden, stel ci < B en C2 ^ B, zodat beiden niet
meer dan de gehele boedel claimen. Het deel B – ci
wordt dan sowieso aan de tweede schuldeiser toegewezen en het deel B – C2 aan de eerste. Het resterende deel B-(B-ci)-(B-C2> = ci+C2-B wordt gelijk over
beiden verdeeld. In totaal krijgt de eerste schuldeiser
dus B-C2+(ci+C2-B)/2= (B+ci-C2>/2 en de tweede
(B+C2-ci)/2. In het volgende zullen we deze regel de
‘regel van het betwiste gewaad’ noemen .
Om bovenstaande regel te kunnen gebruiken in
de situaties van de tabel moeten we een manier zien
te vinden om een driepersoonsprobleem te reduceren tot een tweepersoonsprobleem. Welnu, dat kan
op de volgende manier. Als de getallen uit de tabel
werkelijk acceptabel zijn, dan is het voor de schuldeisers verschillend van i dus acceptabel om aan i het
bedrag Xi uit de tabel te geven. Nadat zij dit gedaan
hebben, hebben zij nog een boedel van B – xj over
waaruit hun claims betaald moeten worden, en wel
In het eerste geval (B = 100) wordt de boedel
gelijk over de schuldeisers verdeeld: elke eiser
krijgt een derde van de boedel. In het derde geval
2. In het geval dat ci>B of C2maar komen de formules er lets anders uit te zien. Men
(B = 300) wordt het principe van proportionele ver-
moet dan ci vervangen door min(B,cD.
ESB 22/29-12-1993
claims en
boedels, in
zuz
BoedelB
100
200
300
Tabel 1.
Verdeling bij
verscbillende
volgens de ‘regel van het betwiste gewaad’. De vraag
is dus of zoiets mogelijk is: Is er een verdeling te vinden die voor elk tweetal personen consistent is met
de ‘regel van het betwiste gewaad? Met behulp van
wat wiskunde kan men bewijzen dat het antwoord
bevestigend is: er is precies een verdeling waarvoor
dit geldt. Met andere woorden: er is precies een manier om de ‘regel van het betwiste gewaad’ consistent
uit te breiden naar verdelingsproblemen met een willekeurig aantal schuldeisers.
Het opmerkelijke is nu dat de getallen in de tabel
overeenkomen met de uitkomsten die door ‘consistente uitbreiding’ van de tweepersoonsregel gevonden worden. Ter illustratie zal ik laten zien dat de toewijzingen bij B = 200 inderdaad consistent zijn. Als
we bij voorbeeld de eerste schuldeiser elimineren
(door hem zijn toegewezen bedrag uit te betalen),
dan houden we een boedel van B = 150 over waar
claims van C2 = 200 en C3 – 300 op rusten. Volgens
de ‘regel van het betwiste gewaad’ moet deze boedel
gelijk over de twee schuldeisers verdeeld worden.
Beiden krijgen dus 75 zoals in de tabel. Als we de
tweede schuldeiser zijn deel (75) uitbetalen, dan hou-
den we een boedel van 125 over met claims van 100
en 300. Het door beiden geclaimde gedeelte is nu
100. Dit wordt gelijk over beiden verdeel en de rest
(25) gaat naar de derde schuldeiser. Een analoge redenering geldt als we de derde schuldeiser door uitbetaling elimineren. Samenvattend geldt dus: er is
precies een consistente uitbreiding van de ‘regel van
het betwiste gewaad’ en deze uitbreiding levert precies de uitkomsten van de tabel. Als we de tweepersoonsregel en het principe van de consistente uitbreiding accepteren, dan moeten we dus ook de
verdelingen zoals in de tabel accepteren.
waardig. Stel dat de boedel 480 waard is. In het algoritme beschouwen we eerst de kleinste schuldeiser
(Judah) tegen een coalitie van zijn broers. Volgens de
tweepersoonsregel krijgt Judah dan de helft van zijn
claim, dus een achtste van de boedel, ofwel 60. De
drie oudere broers krijgen samen 420. Om deze 420
te verdelen beschouwen we de coalitie van Reuben
en Simeon tegen Levi. Volgens de tweepersoonsregel
krijgt Levi een zesde van deze 420, dus 70, en blijft
. 350 over voor de twee oudere broers. Nog een laatste keer de tweepersoonsregel toepassend vinden we
dat Simeon een kwart daarvan krijgt (87), terwijl Reuben drie vierde deel krijgt (262).
Speltheorie
We hebben de verdelingen uit de tabel op twee verschillende manieren gerationaliseerd. Hier kwam nauwelijks wiskunde aan te pas. Het zou echter verkeerd
zijn te denken dat economische theorie en wiskundige technieken bij het vinden van de rechtvaardigingen geen enkele rol hebben gespeeld. Volgens
Aumann en Maschler bestond hun onderzoeksproces
dat tot bovenstaande resultaten leidde ruwweg uit de
volgende fasen: (i) formuleer het faillissementspro-
bleem als een (cooperatief) spel, (ii) laat op dat spel
een algemeen (wiskundig) oplossingsconcept los
(in dit geval de nucleolus), en (iii) onderzoek welke
consequenties dat concept heeft. Net als Marshall
deed, hebben we in het bovenstaande de wiskunde
geelimineerd . Echter, zoals Aumann/Maschler opmerken: “Without the game theory it is unlikely that
we would have hit upon the analysis”. Het algemene
perspectief was nodig om het bijzondere aan de situatie te doorgronden.
Er is nog een tweede manier om de verdelingen
uit deze tabel te rechtvaardigen. De consistente uitbreiding van de tweepersoonsregel is de enige verdelingsregel die niet manipuleerbaar is door coalities
van schuldeisers: als de boedel volgens deze regel
verdeeld wordt, dan is het niet mogelijk dat twee (of
meer) schuldeisers hun toewijzing uit de boedel verhogen door te fuseren en gezamenlijk een claim (die
gelijk is aan de som van de individuele claims) in te
dienen. Beschouw bij voorbeeld in het geval dat B =
200 een fusie van de tweede en derde schuldeiser.
Deze fusie resulteert in een scheidingsprobleem met
een boedel van B = 200 en ci = 100 en C2,3 = 500. De
‘regel van het betwiste gewaad’ geeft de coalitie 150
uit deze boedel, evenveel als de coalitie krijgt als ze
niet samenspannen: een coalitie is niet lonend. Met
elementaire wiskunde is te bewijzen dat deze laatste
conclusie algemeen geldt. Bovendien leidt deze con-
clusie tot een eenvoudig recursief algoritme om in
een willekeurige situatie de ‘juiste’ verdeling efficient
Conclusie
In dit artikel heb ik gepoogd te laten zien dat moderne technieken nieuw licht kunnen doen schijnen op
oude problemen. De economische theorie kan helpen bij schriftverklaring. De problemen waren van
twee verschillende types. In het eerste deel van dit artikel was het informatieprobleem van het grootste belang: Welke mechanismen kunnen ervoor zorgen dat
een efficiente allocatie gerealiseerd wordt als informatie imperfect is? In het tweede deel gingen we meer
in op allerlei fairness-aspecten die bij allocatieproblemen een rol spelen. Hoewel we onze voorbeelden
aan de oudheid ontleenden, zal duidelijk zijn dat we
vergelijkbare problemen ook heden ten dage nog
frequent tegenkomen. Gelukkig zijn onze technieken
om deze problemen te analyseren in de loop van de
tijd iets verbeterd.
te bepalen.
Eric van Damme
Ik zal het algoritme illustreren aan de hand van
een ander verdelingsprobleem uit de Talmoed: Jacob
is gestorven en zijn zoon Reuben produceert een testament waarin Jacob hem de hele nalatenschap belooft. Simeon produceert een testament dat hem de
helft belooft, Levi een dat hem een derde toewijst en
Judah een dat hem een vierde toewijst. Alle testamenten zijn voorzien van dezelfde datum en dus gelijk-
3. In een brief aan Bowley in 1906 omschreef Marshall zijn
onderzoeksmethode als volgt: “(1) Use mathematics as a
shorthand language rather than an engine of inquiry, (2)
keep to them till you have done, (3) translate into English,
(4) then illustrate by examples that are important in real
life, (5) burn the mathematics. (6) If you can’t succeed in
(4), burn (3). This last I did often.”