Chaostheorie in de economie
C.H. Hommes”
eel economen denken dat grillig en onvoorspelbaar gedrag door bet toeval
veroorzaakt wordt. Vanuit de wiskunde en defysica is de laatste twee decennia
een fundamenteel andere verklaring ontwikkeld: de chaostheorie. Inmiddels hebben
economen de eerste pogingen gedaan om de prijsontwikkeling op een markt, bet
conjunctuurverloop en de beurskoersen met deze theorie te verklaren.
V
Economische tijdreeksen kunnen soms zeer grillig gedrag vertonen. Denk bij voorbeeld aan fluctuates in
de werkloosheid, aandelenkoersen, wisselkoersen of
de rente op de geldmarkt. Toeval? De chaostheorie
kan grillig en onvoorspelbaar gedrag verklaren met
eenvoudige exacte niet-lineaire wetmatigheden. Wat
houdt deze chaostheorie precies in? Hoe is de theorie
ontstaan? Heeft deze theorie enige relevantie voor de
economische wetenschap? Kunnen economische modellen chaotisch gedrag vertonen? Kunnen de fluctuaties in bij voorbeeld de werkloosheidscijfers of in aandelenkoersen door chaotische modellen verklaard
worden? Dat zijn enkele vragen waarop in dit artikel
wordt ingegaan.
De opkomst van de chaostheorie
De wereld als klok
In het jaar 2062 zal de komeet van Halley de baan
van de aarde kruisen, net als in 1986. In 1705 al ontdekte Halley dat de naar hem genoemde komeet
eens in de 76 jaar aan de hemel verschijnt. Banen
van kometen (en van planeten) lijken bijna perfect
voorspelbaar. Ze bewegen volgens de gravitatiewetten van Newton en met behulp van deze bewegingsvergelijkingen kan de positie van een komeet tot ver
in de toekomst nauwkeurig voorspeld worden.
In de 17e en 18e eeuw leidde het succes van de
fysica in het algemeen en de hemelmechanica in het
bijzonder tot een groot optimisme omtrent de voorspellingsmogelijkheden van de wetenschap. De bekende franse wiskundige Laplace (1749-1827) zag de
Figuur 1.
Chaotische
tijdreeksen
met gevoelige
afbankelijkbeid van
startwaarden
x(t)
wereld als een grote klok. Dit uurwerk was weliswaar ingewikkeld, maar in principe goed te voorspellen. Volgens het Laplaciaans determinisme had de wetenschap tot taak alle natuurwetten te achterhalen en
de huidige toestand van de wereld zo nauwkeurig
mogelijk in kaart te brengen. Als de wetenschap in
beide zou slagen, dan zou een nagenoeg perfecte
voorspelling van de toekomst mogelijk zijn. Er bleek
echter een lelijke adder onder het gras te zitten, die
niemand destijds had voorzien.
7s het zonnestelsel stabiel?
Rond 1700 was al bekend dat uit de bewegingswetten van Newton volgt dat in een systeem van twee
hemellichamen, zeg van zon en maan, de maan in
een ellipsbaan rond de zon beweegt. In dit twee-lichamenprobleem is de beweging dus periodiek. In
1887 schreef koning Oskar II van Zweden een prijsvraag uit voor het beste essay over de vraag die al
twee eeuwen lang een aantal bekende wetenschappers bezig hield: is ons zonnestelsel stabiel? Is de beweging in ons zonnestelsel periodiek, of zal vandaag
of morgen (of over een paar eeuwen) misschien een
van de planeten ‘ontstnappen’? De prijs werd gewonnen door de Franse wiskundige Henri Poincare. Niet
zozeer omdat hij de vraag beantwoordde, maar omdat hij liet zien dat in een speciaal geval van het drielichamenprobleem, zeg twee planeten en een kleine
komeet, de twee planeten ongeveer in een ellipsbaan om elkaar heen bewegen, maar de baan van de
komeet bepaald niet periodiek, maar zeer grillig en
onvoorspelbaar is. In de huidige terminologie: in het
drie-lichamenprobleem kan de beweging chaotisch
zijn. De komeet wordt als het ware heen en weer
geslingerd door de aantrekkingskracht van de twee
planeten, dan eens aangetrokken door de een dan
weer door de ander. Het gevolg is dat de komeet kriskras heen en weer beweegt tussen de twee planeten
door. Poincare introduceerde het begrip ‘homokliene
baan’ bij de beschrijving van de complexiteit van het
drie-lichamenprobleem. Het optreden van homoklie* De auteur is werkzaam bij de vakgroep Kwantitatieve
Methoden aan de Economische faculteit van de Universiteit
van Amsterdam.
l^’^lllHBJI
ne banen blijkt nu een belangrijke eigenschap van
een chaotisch systeem te zijn. Poincare wordt dan
ook gezien als een van de grondleggers van de
chaostheorie .
Het vlindereffect van Lorenz
Het fundamentele belang van het werk van Poincare
is eigenlijk pas de laatste twintig jaar goed tot de
wetenschap doorgedrongen. In het begin van de jaren zestig simuleerde de meteoroloog Edward Lorenz
een sterk vereenvoudigd weermodel op zijn computer. Het model bestond uit een drietal zeer eenvoudige niet-lineaire differentiaalvergelijkingen, maar toch
zagen de tijdreeksen die de computer berekende er
onregelmatig en onvoorspelbaar uit. Op een dag
besloot Lorenz de laatste helft van een bepaalde tijd-
reeks nog eens over te doen. Daarbij nam hij de
toestand halverwege als startpunt voor de nieuwe
tijdreeks. Toen Lorenz enkele uren later terugkwam
en het resultaat zag was hij geschokt: de tweede tijdreeks was totaal verschillend van de eerste! Eerst
dacht Lorenz dat er lets mis was met zijn computer.
Later realiseerde hij zich echter dat er een andere verklaring was: het startpunt voor de tweede tijdreeks
was in drie decimalen ingevoerd, terwijl de computer
de eerste tijdreeks in zes decimalen berekend had.
Het verschil tussen de twee tijdreeksen werd dus veroorzaakt door een verschil in de vierde decimaal van
de begintoestand (zie figuur 1).
Dit verschijnsel heet gevoelige afhankelijkheid
van startwaarden. Een zeer kleine verandering in de
beginpositie leidt na verloop van tijd tot een groot
verschil en dus tot een totaal andere lange-termijnvoorspelling. Kleine oorzaken hebben grote gevolgen. Aanvankelijk vond Lorenz de onvoorspelbaarheid in zijn model een ‘ongewenste’ eigenschap.
Later realiseerde hij zich echter dat de onvoorspelbaarheid in zijn model juist zeer realistisch was. Immers iedereen weet uit eigen ervaring dat de atmosfeer een onvoorspelbaar systeem is. Lorenz had nu
een zeer eenvoudige niet-lineair model gevonden dat
een zelfde soort onvoorspelbaarheid bezit als de
atmosfeer. De onvoorspelbaarheid ligt opgesloten in
de niet-lineaire wetten van de atmosfeer. Tegenwoor-
dig gaan meteorologen er dan ook van uit dat het
weer principieel nooit meer dan twaalf dagen vooruit
te voorspellen is.
Deterministische chaos
Het model van Lorenz is een van de eerste voorbeelden van een chaotisch model. De oplossingen blijven
maar kris kras heen en weer bewegen, zonder zich te
herhalen. Toch is het gedrag van de oplossingen niet
volstrekt willekeurig: computersimulaties laten zien
dat voor elke startwaarde de oplossingen steeds
weer hetzelfde lange-termijngedrag vertonen en naar
dezelfde zogeheten vreemde aantrekker convergeren
(zie figuur 2)2. Een vreemde aantrekker karakteriseert lange-termijngedrag dat veel gecompliceerder
is dan een stabiele evenwichtswaarde of een stabiele
periodieke oplossing. Vanwege de gevoelige afhankelijkheid van startwaarden blijft het moeilijk om te
voorspellen waar op de aantrekker zich na verloop
van tijd een oplossing bevindt.
ESB 18-1-1995
Tegenwoordig is het een wiskundig feit dat vreemde aantrekkers
veel voorkomen in eenvoudige nietlineaire deterministische modellen.
Men spreekt vaak van deterministische chaos. Deze op het eerste gezicht paradoxale term dekt precies
de lading: eenvoudige, exacte vastliggende wetmatigheden, waarbij
het toeval geen enkele rol speelt,
kunnen toch leiden tot onvoorspelbare en grillige tijdspatronen. Dit
fundamenteel nieuwe inzicht staat
haaks op het eerder genoemde Laplaciaans determinisme en wordt door sommigen, na de relativiteits-
Figuur 2. De
vreemde aantrekker in bet
theorie en de quantum mechanica, zelfs de derde weLorenz-model
tenschappelijke revolutie van deze eeuw genoemd.
Chaos in de economic
Wat heeft chaos nu met de economische theorie te
maken? Kunnen conjuctuurschommelingen of fluctuaties op de financiele markten met behulp van een
niet-lineair model met een vreemde aantrekker verklaard worden?
In de afgelopen tien jaar zijn tal van eenvoudige
economische modellen ontwikkeld die chaotisch gedrag vertonen3. Met succes: niet-lineaire economische wetten blijken niet alleen het oscillerend gedrag
van economische variabelen, maar zelfs ook een deel
van het grillige gedrag te kunnen verklaren. De tot
nu toe gepresenteerde voorbeelden in de literatuur
zijn echter zeer eenvoudig en lijken nog ver van de
realiteit te staan. De tijdreeksen van deze modellen
vertonen een aantal overeenkomsten, maar ook een
aantal duidelijke verschillen met actuele economische tijdreeksen. De modellen kunnen de data (nog)
niet goed verklaren.
Een eenvoudig vraag-aanbod model
Ter illustratie het misschien wel allereenvoudigste
voorbeeld van een economisch model waarin
chaotisch gedrag optreedt: het ‘spinnewebmodel’
met adaptieve prijsverwachtingen . Dit model beschrijft een markt uitgaande van vier aannames:
• de vraag van de consument neemt af als de prijs
toeneemt;
• het aanbod van de producenten neemt toe als de
producenten voor de komende periode een hogere prijs verwachten;
1. Twee voor ‘leken’ geschreven boeken over de chaostheorie met veel aandacht voor historische aspecten zijn:
J. Gleick, Chaos. Making a new Science, Viking, New York
1987 (nederlandse vertaling: Contact, Amsterdam 1989) en
H. Tennekes (red.), De vlinder van Lorenz, Aramith 1990
2. Deze term werd ge’introduceerd in D. Ruelle en
F. Takens, On the nature of turbulence, Communications in
Mathematical Physics, jg. 20, 1971, biz. 167-192.
3. Voor een overzicht: H.-W. Lorenz, Nonlinear dynamical
economics and chaotic motion, second and enlarged edition, Springer Verlag, Berlijn, 1993.
4. Zie hoofdstuk 1 in C.H. Hommes, Chaotic dynamics in
economic models. Some simple case-studies, proefschrift
RUG, Wolters-Noordhoff, Groningen, 1991.
• de markt is in evenwicht, dat wil zeggen de vraag
is gelijk aan het aanbod en
• de producenten hebben adaptieve prijsverwachtin-
gen, dat wil zeggen hun prijsverwachting wordt
met een gewichtsfactor w aangepast in de richting
van de meest recente prijs. Voor w = 0 houden de
producenten vast aan hun prijsverwachting, voor
w = 1 is de prijsverwachting van de producenten
gelijk aan de meest recente prijs en voor bij voorbeeld w = 0,5 nemen de producenten precies het
gemiddelde van hun voorgaande verwachte prijs
en de voorgaande prijs.
figuur 3.
Bifurcatiediagrammen
die aangeven
boe bet (lange-termijn)
prijsgedrag
Bij lineaire vraag- en aanbodskrommen zijn er in feite slechts twee mogelijkheden voor het prijsgedrag
op de markt: een stabiele evenwichtsprijs of een instabiele evenwichtsprijs met onbegrensde prijsoscillaties, gescheiden door een kritische grenswaarde w.
Wanneer de vraagkromme en/of de aanbodkromme
echter niet-linear zijn (maar wel dalend respectievelijk stijgend) dan blijkt er veel meer variatie in het
prijsgedrag mogelijk. In .figuur 3 is een voorbeeld gegeven hoe het prijsgedrag in dat geval van de gewichtsfactor w van de prijsverwachtingen afhangt.
Voor w < 0,2 convergeren de prijzen naar een stabiele evenwichtsprijs. Als w toeneemt wordt het prijsgedrag gecompliceerder, via een periode 2 naar een periode 4, een periode 8, en daarna grillig, chaotisch
gedrag (de zwarte gebieden in figuur 3a). Als w nog
verder toeneemt wordt het prijsgedrag weer regelmatiger, en voor w > 0,8 is er weer convergentie naar
een stabiele oplossing waarbij de prijs steeds van een
hoge naar een lage waarde en dan weer terug
springt. Voor tussenliggende waarden van w (0,3 <
van de
w < 0,7) is het prijsgedrag grillig. Je zou kunnen zegverwacbtings- gen dat de twijfel van de producenten tussen de ei-
factor w
gen verwachte prijs en de actuele prijs leidt tot onvoorspelbare prijzen.
Figuur 3b illustreert de inFiguur 3a. De periode-verdubbelingsvloed van kleine exogene
route naar chaos
schokken op de prijzen.
Bij een kleine hoeveelheid
ruis blijft de conclusie ruwweg hetzelfde: regelmatig
prijsgedrag voor waarden
van w dicht bij 0 of dicht
bij 1, maar gecompliceerd
prijsgedrag voor waarden
afhangt
rond w = 0,5.
Rationele versus
adaptieve verwachtingen
Figuur 3b. Prijsgedrag in aanwezigbeid van exogene scbokken
We bekijken nog een eenvoudige uitbreiding van
het bovenstaande model,
met lineaire vraag en aanbodskrommen maar twee
groepen producenten met
twee verschillende typen
prijs-verwachtingen: een
groep producenten met
rationele, en een andere
groep met adaptieve prijsverwachtingen . Voor het
verkrijgen van de perfect voorspellende rationele
verwachtingen moet een (klein) vast bedrag aan informatiekosten betaald worden, terwijl de adaptieve
verwachtingen gratis verkrijgbaar zijn. De fracties van
de twee groepen agenten wordt bepaald door de verwachte winst of, equivalent hiermee, door de voorspelfouten van de twee verschillende verwachtingen:
als de voorspelfout van de adaptieve verwachtingen
groter wordt dan de informatiekosten van de rationele verwachtingen zal een groter aantal producenten
overstappen op rationele verwachtingen.
Ga nu eens uit van een beginsituatie waarbij alle
producenten adaptieve prijsverwachtingen hebben,
en neem aan dat de evenwichtsprijs instabiel is. Zolang de voorspelfouten van de adaptieve verwachtingen kleiner zijn dan de informatiekosten van de rationele verwachtingen houden de meeste producenten
vast aan hun adaptieve prijsverwachtingen. Doordat
het evenwicht echter instabiel is ontstaan er prijsfluctuaties en groeit de voorspelfout van de adaptieve
verwachtingen. Op zeker moment wordt deze voorspelfout groter dan de informatiekosten van de rationele verwachtingen, waardoor producenten overgaan op rationele verwachtingen. Bij een grote
keuzegevoeligheid (die bij voorbeeld optreedt als
elke producent zijn computer geprogrameerd heeft
om dat onmiddellijk te doen zodra de voorspelfout
groter is dan de informatiekosten) zullen bijna alle
agenten rationele verwachtingen gaan hanteren.
Daardoor zal de prijs echter weer dicht tot de evenwichtsprijs naderen. De prijsfluctuaties nemen dus af,
en de voorspelfout bij de adaptieve verwachtingen
wordt weer klein, zodat veel producenten weer overgaan naar adaptieve prijsverwachtingen. Daarmee
zijn we ongeveer terug in de uitgangssituatie. Het
proces herhaalt zich dan van voren af aan.
Het afwisselen tussen de ‘stabiele’ fase waarin
de prijs dicht bij zijn evenwichtswaarde zit en de
‘instabiele’ fase van prijsfluctuaties gebeurt echter
zeer onregelmatig, zoals blijkt uit figuur 4. Het spinneweb-model met heterogene verwachtingen heeft
een vreemde aantrekker (zie figuur 5). In feite treedt
in dit voorbeeld het door Poincare ontdekte homokliene gedrag op, zoals eerder beschreven. In het
drie-lichamenprobleem van Poincare werd de komeet kris-kras heen en weer geslingerd door de aantrekkingskracht van de twee planeten. In het spinneweb-model is er een stabiliserende kracht waardoor
de prijzen naar het evenwicht tenderen als de meeste
producenten rationele verwachtingen hebben, en
een destabiliserende kracht waardoor de prijzen van
het evenwicht weg bewegen als de meeste producenten adaptieve verwachtingen hebben. Grillige, onvoorspelbare prijzen zijn het gevolg van de interactie
tussen deze twee krachten. Het feit dat de agenten
verschillende opvattingen hebben omtrent de toekomstige prijsontwikkeling blijkt een bron van instabiliteit in de markt te zijn.
5. Dit is een van de modellen in W.A. Brock en C.H. Hommes, Rational routes to randomness, working paper Department of Economics, University of Wisconsin, 1995.
Is de conjunctuur chaotisch?
Eenvoudige niet-lineaire economische modellen kun-
nen dus chaos genereren. Geven deze modellen ook
een goede beschrijving van echte tijdreeksen van de
economische conjuctuur? Of, zoals de titel van een
bekend artikel van Brock en Sayers luidt : Is the business cycle characterized by deterministic chaos?
Traditioneel zijn er in de economische wetenschap twee fundamenteel verschillende verklaringen
voor conjunctuurgolven. Volgens de eerste verklaring
Figuur 5- Een vreemde aantrekker in bet spinnewebmodel met rationele en adaptieve verwachtingen. Deflguur recbts is een uitvergroting en laat de fractals structuur van de aantrekker zien
fractie
worden conjunctuurgolven veroorzaakt door toevalli-
ge, externe schokken. Afgezien van deze schokken
zou de economic naar een stabiel evenwichtspad
tenderen. Deze theorie uit de jaren dertig (Frisch,
prijs
Slutsky), is in de jaren zeventig verder ontwikkeld
door de nieuw-klassieken. Een belangrijk kritiekpunt
op deze theorie is dat ze geen economische verklaring van de fluctuaties geeft; die zijn immers exogeen.
Volgens de andere verklaring moeten conjunctuurgolven niet door toevalligheden, maar door vastliggende, niet-lineaire economische wetmatigheden
verklaard worden. Ook zonder exogene schokken
kunnen economische variabelen fluctuerend gedrag
vertonen. In de jaren veertig en vijftig introduceerden
onder andere Kaldor, Hicks en Goodwin eenvoudige
niet-lineaire conjunctuurmodellen. In deze filosofie
staat niet een stabiel evenwicht, maar een stabiele
periodieke oplossing centraal. Een belangrijk kritiekpunt op deze (post-)Keynesiaanse conjunctuurtheorie is dat de periodieke oplossingen worden gekenmerkt door net feit dat de verwachtingen omtrent
toekomstige variabelen die de agenten hebben, systematisch verschillen van de realisaties. De agenten maken systematische voorspelfouten en gedragen zich
dus niet rationeel. Mede door de Nieuw-klassieke
theorie en de hypothese van rationele verwachtingen, waarbij gepostuleerd wordt dat er geen systematische afwijkingen tussen verwachtingen en realisaties optreden, zijn de Keynesiaanse modellen ‘uit de
mode’ geraakt.
De ontdekking van het verschijnsel deterministische chaos heeft geleid tot een hernieuwde belangstelling voor een endogene verklaring. Een veel geci-
teerd artikel van Grandmont waarin chaos in een
eenvoudig niet-lineair model, dat nauw aansluit bij
de nieuw-klassieke theorie (rationele verwachtingen,
nutsmaximalisatie en marktevenwicht), aangetoond
wordt, begint als volgt: “The belief that the long run
Figuur 4. Chaotische prijsfluctuaties
prijs
prijs
equilibrium of a competitive monetary economy that
does not experience any exogenous shocks should
be modelled as a state that is stationary or perhaps
growing at a constant rate seems to be deeply rooted
in the mind of some economists”7. Deze formulering
is nog aan de voorzichtige kant; het ‘geloof waar
Grandmont over spreekt lijkt niet slechts bij ‘sommige’, maar bij zeer veel economen aanwezig. Grandmont laat zien dat het lange-termijngedrag in evenwichtsmodellen center ook chaotisch kan zijn.
Bij het chaos-onderzoek bestaat ook nog een andere
invalshoek, waarbij niet modellen maar tijdreeksen
centraal staan. In de wiskunde en de fysica zijn de
laatste tien jaar methoden ontwikkeld waarmee het
in principe mogelijk is te onderzoeken of het conjunctuurverloop chaotisch is, zonder daarbij het model te kennen. Bij deze tijdreeksanalyse gaat het er
om na te gaan of een gegeven tijdreeks, zeg de wekelijkse dollar-gulden wisselkoers van de laatste vijf
jaar, door een deterministisch model (dus door economische wetten) dan wel door een stochastisch model (dus door externe schokken) gegenereerd is. Het
idee daarbij is ruwweg dat er op basis van de tijdreeks een ‘dimensie’ uitgerekend wordt. De dimensie
geeft het minimum aantal variabelen van een deterministisch model dat de gegeven data beschrijft. Als de
dimensie laag is (zeg minder dan 6), is dat een aanwijzing voor deterministische chaos. Als de dimensie
hoog is (meer dan 10) is dat een aanwijzing voor ruis
in de tijdreeks en dus voor een stochastisch model.
De tot nu toe ontwikkelde methoden hebben center een tweetal belangrijke praktische beperkingen.
Ten eerste zijn er vaak zeer lange tijdreeksen, zeg
van 30.000 of meer observaties, nodig om tot enigszins betrouwbare uitspraken te komen. Ten tweede
zijn de methoden zeer gevoelig voor ruis. Dat betekent dat een tijdreeks die gemaakt is met een deter-
6. W.A. Brock en C.L. Sayers, Is the business cycle characterized by deterministic chaos?, Journal of Monetary Economics, jg. 22, 1988, biz. 71-90. Een goed overzicht van deze
problematiek en veel toepassingen op andere economische
data zijn te vinden in W.A. Brock, D.A. Hsieh en B. LeBaron, Nonlinear dynamics, chaos and instability. Statistical
theory and economic evidence, MIT press, Cambridge, 1992.
7. J.-M. Grandmont, On endogenous competitive business
cycles, Econometrica, jg. 53, 1985, biz. 995-1045.
ESB 18-1-1995
ministisch chaotisch model waaraan een klein beetje
ruis is toegevoegd, een hoge dimensie kan geven,
met als resultaat de (verkeerde) uitspraak dat de tijd-
reeks niet door een deterministisch chaotisch model
gegenereerd is.
Bovengenoemde methoden zijn de laatste jaren
veelvuldig toegepast op (en aangepast voor) economische tijdreeksen. Maar zelfs als de economische
tijdreeksen chaotisch zouden zijn, kan dat met de
huidige methoden waarschijnlijk niet achterhaald
worden, aangezien de meeste macro-economische
tijdreeksen (meestal op kwartaal of jaarbasis) relatief
kort zijn en waarschijnlijk te veel ruis bevatten. Wel
leert het onderzoek dat een aantal economische tijdreeksen (bij voorbeeld werkloosheidscijfers en industriele produktie in de VS) sterke aanwijzingen voor
niet-lineariteit bevatten. Dergelijke tijdreeksen kunnen dus niet goed door lineaire stochastische modellen beschreven worden, zoals tot nu toe vaak gebeurde. Er wordt tegenwoordig dan ook veel onderzoek
gedaan om na te gaan in hoeverre niet-lineaire stochastische modellen de data beter beschrijven.
Zijn beurskoersen chaotisch?
Ook in de literatuur over financiele markten zijn
twee concurrerende stromingen met betrekking tot
het verklaren van koersfluctuaties. Volgens de eerste
stroming (gebaseerd op de efficiente-markthypothese) zijn beurskoersen niet te voorspellen maar volgen
ze een ‘random walk’. De fluctuaties in het koersver-
loop treden op doordat er steeds nieuwe informatie
omtrent de (economische) situatie beschikbaar komt.
Volgens de tweede stroming zijn de koersfluctuaties het gevolg van een interactie tussen het hande-
len en het ‘leergedrag’ van beursanalisten. Vaak worden daarbij twee hoofdgroepen onderscheiden: de
technisch analisten en de fundamentalisten. De technisch analisten zoeken naar patronen in de koersen
en proberen deze te extrapoleren. De fundamentalisten gebruiken informatie omtrent de economische situatie om de goede evenwichtskoers te bepalen en
kopen (verkopen) aandelen die beneden (boven) de
evenwichtskoers zitten. De Grauwe, Dewachter en
Embrechts vinden chaotische dynamica in eenvoudige niet-lineaire wisselkoersmodellen, waarbij juist de
interactie tussen fundamentalisten en technisch analisten een bron van instabiliteit is . Dit model is nauw
verwant met het eerder beschreven spinnewebmodel
met rationele en adaptieve verwachtingen. Er bestaan
veel lange financiele tijdreeksen die relatief weinig
ruis bevatten. De eerder beschreven methoden om
deterministische en stochastische tijdreeksen te onderscheiden zijn dan ook veelvuldig toegepast op
financiele data. In een bekend artikel analyseren
Scheinkman en LeBaron een wekelijkse beursindex
van juli 1962 tot december 1985, waarbij ze een geschatte dimensie van 5,7 vinden . Ze trekken de voorzichtige conclusie:”…the data are not incompatible
with a theory where some of the variation would
come from nonlinearities as opposed to randomness
and are not compatible with a theory that predicts
that the returns are generated by i.i.d. random variables”. Het random-walk model lijkt dus strijdig met
deze data, terwijl een niet-lineair deterministisch model van zeg 10 variabelen met een vreemde aantrekker niet strijdig is met de data. Een niet-lineair stochastische model kan echter ook consistent zijn met
de resultaten. Als beurskoersen inderdaad een random walk volgen zijn ze volstrekt onvoorspelbaar.
Als beurskoersen beschrevert kunnen worden door
een model met een vreemde aantrekker blijven langetermijnvoorspellingen onmogelijk, maar is in principe een korte-termijnvoorspelling wel mogelijk. Als
de vreemde aantrekker een hoge fractale dimensie
heeft (zeg 10) dan kan ook een korte-termijnvoorspelling echter zeer moeilijk zijn, vooral in aanwezigheid van ruis.
Een econoniisch perspectief
Is deterministische chaos nu wel of niet relevant voor
de economische wetenschap? De meeste economen
zijn het er wel over eens dat de economic een niet-lineair systeem is en ook dat het geen zuiver deterministisch systeem is. In deze opvatting kan de economic het beste door een niet-lineair model met ruis
beschreven worden. Zo’n niet-lineair stochastisch model heeft meestal een deterministisch ‘skelet’ (dat verkregen wordt door de ruistermen op 0 te zetten). Het
is een wiskundig feit (dat blijkt uit het chaos-onderzoek van de laatste twintig jaar) dat in niet-lineaire
modellen vreemde, chaotische aantrekkers eerder regel dan uitzondering zijn. Uit methodologisch oogpunt zou je dus zeggen dat economen niet om de deterministische chaos heen kunnen.
De tot nu toe gepresenteerde economische chaosmodellen staan nog ver van de realiteit en geven een
slechte ‘fit’ op de data. Een belangrijke reden hiervoor is dat deze modellen vaak maar een, twee of
hooguit drie variabelen bevatten. De toepassingen
van ‘chaos’ in de economie staan eigenlijk nog in de
kinderschoenen staan. Er zijn betere, gecompliceerdere modellen nodig.
Is het mogelijk om met eenvoudige niet-lineaire
deterministische modellen van zeg tien tot twintig variabelen de karakteristieke eigenschappen van economische tijdreeksen te beschrijven? In hoeverre zijn de
geobserveerde economische fluctuaties toe te schrijven aan externe schokken danwel aan onderliggende
economische wetmatigheden? In hoeverre zijn koersfluctuaties op financiele markten toe te schrijven aan
nieuwe informatie danwel aan een interactie tussen
het handelen en leergedrag van beurshandelaren? De
waarheid ligt waarschijnlijk ergens in het midden, en
juist dat maakt de problematiek zo ingewikkeld. Een
definitief antwoord zal dan ook nog wel even op
zich laten wachten. Het chaos-onderzoek heeft deze
vragen in elk geval actueler gemaakt dan ooit tevoren.
Cars Homines
8. P. De Grauwe, H. Dewachter en M. Embrechts, Exchange
rate theory. Chaotic models of foreign exchange markets,
Blackwell, Oxford, 1993.
9. J.A. Scheinkman en B. LeBaron, Nonlinear dynamics and
stock returns, Journal of Business, jg. 62, 1989, blz.311-337.