Index-opties op de EOE

Index-opties op de EOE
Met de (her-)introductie van index-opties in mei 1987 is er voor de beleggers die
ge’interesseerd zijn in opties een beleggingsmogelijkheid bijgekomen. In dit artikel wordt
een aantal aspecten van index-opties besproken. Eerst wordt aandacht besteed aan het
type index dat wordt gebruikt als onderliggende waarde, vervolgens worden de
toepassingsmogelijkheden van index-opties besproken en ten slotte wordt gekeken of het
Black-Scholes-model, dat doorgaans wordt gebruikt bij de waardering van opties, ook van
toepassing is op index-opties. Daarbij worden de noteringen die op 19 mei tot stand
kwamen in de beschouwing betrokken.

DRS. A. BUIJS* – PROF. DR. H.G. EIJGENHUIJSEN**

Inleiding
Opties waarbij een beursindex als onderliggende waarde geldt, hebben een enorme vlucht genomen, met name
op de optiebeurzen in de Verenigde Staten. In maart 1983
werden index-opties ge’mtroduceerd op de Chicago Board
Options Exchange (CBOE) in Chicago. Reeds in 1984 was
de omzet (gemeten naar aantal contracten) van index-opties in Chicago groter dan die van alle aandelenopties
gezamenlijk. We kunnen dus stellen dat index-opties in
een grote behoefte voorzien.
De working van index-opties kan worden verduidelijkt
aan de hand van een gestyleerd voorbeeld. Stel dat de
beursindex op 250 staat en er handel mogelijk is in indexopties met een uitoefenprijs van 260. lemand koopt een
call-optie met een looptijd van drie maanden voor f. 2,50
1). De koper van de call-optie besluit deze te behouden tot
de expiratiedatum. Stel dat de beursindex op die expiratiedatum op 255 staat. In dat geval is de call-optie waardeloos
geworden want de uitoefenprijs is niet bereikt. Zou echter
de beursindex na die drie maanden op 270 staan, dan eindigt de optie ‘in-the-money’ en kan de houder van de calloptie het verschil incasseren tussen beursindex en uitoefenprijs.dat is f. 270-f. 260 = f. 10. Hiermeekomenwe
op een belangrijk verschil tussen index-opties en gewone
aandelenopties.
Zouden we in bovenstaand voorbeeld aandelen van een
bepaald fonds als onderliggende waarde kennen, dan kan
de optie uitgeoefend worden met als gevolg dat aandelen
van dat fonds voor f. 260 gekocht kunnen worden 2). De
houder van de optie kan desgewenst deze aandelen onmiddellijk weer doorverkopen om daarmee zijn winst te
realiseren. Dus: de afwikkeling van aandelenopties die ‘inthe-money’ eindigen gaat – althans in principe 3) – gepaard met levering van de onderliggende aandelen.
Dit is niet mogelijk voor index-opties: men kan niet zoiets
leveren als een index. Bij uitoefening van een optie op de
index dient door de schrijver het verschil tussen uitoefenprijs en waarde van de index in geld te worden afgerekend
(als dit verschil positief is voor de houder van de optie).
Men spreekt daarom wel van ‘cash-settlement’ of een ‘verrekeningscontract’. Dit aspect heeft destijds bij de EOE in
Amsterdam voor problemen gezorgd. De vraag was of de
afwikkeling van index-opties juridisch afdwingbaar was,
en bovendien waren er begin dit jaar problemen met de

professionele optiehandelaren in verband met het afdekken van hun posities.
Deze problemen zijn nu opgelost en op 18 mei 1987 introduceerde de EOE opnieuw call- en put-opties op een index. Gekozen is voor opties die de EOE-index als onderliggende waarde kennen. Als bijzonderheid geldt dat de
index-opties, in tegenstelling tot de gewone aandelenopties op de EOE, van het ‘Europese’ type zijn, wat inhoudt
dat ze alleen op de expiratiedatum mogen worden uitgeoefend.

De constructie van de EOE-index
De berekeningswijze van de EOE-index is de laatste jaren enkele malen gewijzigd. Anno 1987 kan men deze index als een ‘basketindex’ betitelen. Dit houdt in dat men
als grondslag van de index een portefeuille van aandelen
kiest waarvan de waarde telkens opnieuw berekend wordt.
Bij de laatste herziening hiervan op 29 november 1986
heeft men een portefeuille gekozen van 20 Nederlandse
fondsen waarvoor (op dat moment of mogelijk op een later
tijdstip) opties verhandeld worden. Voor ieder van de
fondsen veronderstelt men dat daarin op de uitgangsdatum een (ongeveer) even groot bedrag belegd is. Afhankelijk van de koersen op de uitgangsdatum bevinden zich
daarom van sommige fondsen weinig aandelen in de basket en van andere fondsen veel. De samenstelling van de
index is weergegeven in tabel 1. Door alle aantallen in de
label te vermenigvuldigen met de bijbehorende koersen
ontstaat de waarde van de portefeuille. Deze uitkomst
* Afdeling Kwantitatieve Methoden, Nijenrode, Universiteit voor Bedrijfskunde, Breukelen.
** Faculteit der Economische Wetenschappen en Econometric,
Vrije Universiteit, Amsterdam.
1) Bij de meeste optiecontracten geldt als handelseenheid 100 stuks,
zodat optieprijzen in de praktijk met 100 vermenigvuldigd moeten
worden.
2) Meestal vindt uitoefening plaats op de expiratiedatum. De op de
EOE verhandelde aandelenopties zijn van het Amerikaanse type, wat
inhoudt dat men ook eerder mag uitoefenen. Deze voortijdige uitoefening kan in sommige gevallen de optimale handelwijze zijn.
3) Veel beleggers verkopen de optie vlak voor de expiratiedatum,
waardoor de transactie ook zonder overdracht van aandelen wordt afgewikkeld.

Tabel 1. Samenstelling van de EOE-basket sinds 29 november 1986 a)
Fonds

ABN
AGN
AH
AKZ
AMV
ARB
BT
ELS
GIS
HEI

Aantal
2
15
11
8
17
14
6 (nu 24)
5 (nu 25)
26
7

Fonds

HO
KLM
KNP
NED
NMB
NN
OCE
PH

RD
UNI

Aantal
30
28
8
7
6
16
3
28
6
3

a) De fondsen zijn weergegeven door hun EOE-symbool.

wordt door 100 gedeeld om de waarde van de EOE-index
te bepalen. Bij deze constructie kan een aantal kanttekeningen worden geplaatst.
Getracht is een index te construeren waarbij in een basisperiode ongeveer evenveel vermogen is belegd in ieder
fonds. Men dient zich te realiseren dat dit een bewuste
keuze is. Men zou immers ook anders te werk kunnen
gaan, bij voorbeeld door aan bepaalde fondsen meer gewicht toe te kennen dan aan andere.
Omdat men bij de EOE-index wenst te werken met gehele aantallen aandelen, is het niet mogelijk om in de basisperiode precies evenveel vermogen in ieder fonds te
beleggen. Het gevolg hiervan is, dat bij een herziening van
de ‘basket’ kleine schokken in het verloop van de index
kunnen optreden. Dit blijkt bij voorbeeld uit het volgende.
In de loop van 1986 is de EOE-basket tweemaal aangepast. Op29augustus 1986werden Elsevieren KNPtoegevoegd en werd Robeco verwijderd. Op 28 november werden Buhrman-Tetterode, NMB en OCE toegevoegd.
Bij deze herzieningen hanteert men de volgende procedure. De waarde van de oude EOE-index wordt vermenigvuldigd met 100 en vervplgens gedeeld door het (nieuwe)
aantal fondsen zodat blijkt welk bedrag per fonds belegd
dient te worden. Hiermee berekent men per fonds een onafgerond aantal aandelen dat vervolgens op de gebruikelijke manier wordt afgerond tot een geheel aantal. Deze afgeronde aantallen vormen vervolgens de nieuwe EOEbasket. Op 29 augustus 1986 bleek dat de nieuwe index
269,75 opleverde, terwijl de oude index 265,39 aangaf. Op
28 november 1986 kwam de nieuwe index op 261,54 uit,
terwijl de oude index 262,23 opleverde. Het is duidelijk dat
dergelijke sprongen ongewenst zijn wanneer in indexopties gehandeld wordt. Mogelijk om veelvuldige aanpassing van de index tegen te gaan, heeft men op 29 november 1986 reeds enkele fondsen in de index opgenomen,
waarvoor pas een aantal maanden later opties verhandeld
worden. (Thans is het wachten nog op opties NMB en
OCE.)
Bij het bepalen van de index wordt geen rekening gehouden met de betaling van contant dividend. Daardoor
kan de EOE-index in principe kleine neerwaartse schokken vertonen als een fonds ex-dividend gaat. Met dergelijke bewegingen van de index dient de belegger in indexopties rekening te houden. Bij de nieuwe CBS-stemmingsindex is de behandeling van contante dividenden overigens analoog aan de EOE-procedure.
De aanpak die wordt gevolgd als er uitkeringen in aandelen zijn heeft een enigszins arbitrair karakter. Men kent
als regel op de EOE dat stockdividenden en dergelijke leiden tot aanpassing van de index als: ,,…het verschil tussen de openingskoers ex dividend en de slotkoers cum dividend meer bedraagt dan ca. 2% van de slotkoers cum dividend van het desbetreffende fonds.” (art. 3 van het
reglement EOE-Nederlandse Aandelenindex, 23 december 1986). Aanvankelijk eiste de EOE dat na toepassing
van zo’n correctie wederom gehele aantallen aandelen in
de ‘basket’ opgenomen waren. Volgens de laatste versie
van het reglement kunnen na een correctie ook fracties
van aandelen deel uitmaken van de portefeuille 4). Naast
de hier gesignaleerde vaagheid over de norm (ca. 2%) bij
530

eventuele correcties per fonds is er ook onduidelijkheid
over mogelijke herzieningen van de index. Artikel 3.4. van
het reglement stelt: ,,lndien de waarde-ontwikkeling van
een of meer van de samenstellende fondsen van de EOENederlandse Aandelenindex daartoe aanleiding geeft kan
de Optiebeurs besluiten tot herziening van de samenstelling van de index”. Op grond van het voorgaande concluderen we daarom dat de constructiemethode van de EOEindex enkele vaagheden bevat die mogelijk weggenomen
kunnen worden door een nauwkeuriger formulering van de
bereken i ngsregels.

Index-opties en de belegger
In de moderne beleggingstheorie wordt gezocht naar de
relatie tussen het koersgedrag van een individueel fonds
en de marktportefeuille. De gedachtengang is, dat het rendement van een aandeel voor een deel wordt verklaard
door het marktrendement. De rest van het rendement
wordt toegeschreven aan het risico van het aandeel dat
niet samenhangt met algemene marktbewegingen. Hoe
dit aspect van de beleggingstheorie kan worden uitgewerkt, zal hier niet worden besproken.
Belangrijk is dat elk fonds wordt gekenmerkt door een
specifieke risicocomponent, die kan worden weggediversifieerd door een efficients aandelenportefeuille aan te
houden. Dan loopt men alleen nog het systematische risico van de portefeuille. In deze gedachtengang is het werken met opties per fonds niet zinvol; bij het portefeuillebeheer zal men zich moeten richten op index-opties 5).
Wat kan een belegger in de praktijk van index-opties verwachten? In beginsel zijn er vier posities te onderscheiden, te weten: het kopen van een call, het schrijven van
een call, het kopen van een put en het schrijven van een
put.
Een koper van een call-optie belegt een relatief klein bedrag om te profiteren van een mogelijke stijging van de index. Een belegger die zijn vermogen belegd heeft in bij
voorbeeld vastrentende waarden kan op die manier toch
profijt trekken van een stijging van het algemene koersniveau op de aandelenmarkt. De keerzijde van deze strategic is, dat hij het in call-opties belegde bedrag kwijt is als
de beursindex niet tot boven de uitoefenprijs is gestegen.
Een belegger met een aandelenportefeuille met dezelfde
samenstelling als de index kan overwegen call-opties op
de index te schrijven. Hiermee kan hij een bepaald deel
van het rendement veilig stellen. Ook put-opties kunnen
een nuttige f unctie hebben voor beleggers. Door bij een representatief samengestelde portefeuille put-opties op de
index te kopen, kan men zich indekken tegen dalingen van
het algemene koersniveau. Op die manier is een (put)
index-optie een soort portefeuilleverzekering.
Het spreekt vanzelf dat de betekenis van index-opties
als instrument voor risicodekking bij het portefeuillebeheer toeneemt, naarmate het gedrag van de aandelenportefeuille sterker gecorreleerd is met de index. Het aantal
index-opties dat nodig is hangt onder meer af van de gevoeligheid van de index-optie voor veranderingen in de
waarde van het onderliggende indexcijfer. Er zijn enkele
aanwijzingen uit de literatuur dat index-opties gebruikt
worden door institutionele beleggers. Evnine en Rudd
spreken het vermoeden uit dat de S&P-100 opties zo populair zijn omdat,,…the index performance was similar to the
S&P-500 and hence many institutional portfolios 6). Daarnaast bestaat er het Gateway Option Index Fund dat zichzelf afficheert als ‘America’s first hedged index fund’. Dit
fonds belegt overeenkomstig de samenstelling van de
4) Dit komt tegemoet aan een bezwaar van A. Buijs en H.G. Eijgenhuijsen, De nieuwe beursindexcijfers, Bank-en Effectenbedrijf, januari/februari 1987.

5) Zie hiervoor J.H. Rentier, Opties als portefeuilleverzekering, VBAJournaal, december 1985.
6) J. Evnine en A. Rudd, Index options: the early evidence, The Journal of Finance, nr. 3, 1985.

S&P-100-index en schrijft op deze portefeuille call-opties
op de CBOE 7). Met lijkt ons overigens aannemelijk dat niet
alleen beleggingsinstellingen en andere institutionele beleggers interesse zullen hebben voor index-opties 8). Er
zullen waarschijnlijk ook veel particulieren aan de handel
deelnemen. Wellicht niet alleen vanuit het gezichtspunt
van verantwoord portefeuillebeheer maar ook om zuiver
speculatieve redenen.
De meeste risico’s bij index-opties komen overeen met
die van aandelenopties. Wie een call of een put koopt heeft
een kans om al het hierin belegde geld te verliezen. Wie
een call-optie ongedekt schrijft, loopt in principe ongelimiteerde risico’s. Men kan zo’n risico op verschillende manieren beperken. Zo kan men bij voorbeeld naast de geschreven call een call met hogere uitoefenprijs kopen
(men creeert dan een zogenaamde ‘verticale spread’).
Ook kan een portefeuille van aandelen worden gekocht die
overeenkomt met de samenstelling van de index. Als in dat
geval de index stijgt met als gevolg dat de call-optie op de
expiratiedatum wordt uitgeoefend, biedt de waardestijging
van de portefeuille de call-schrijver compensatie. Toch is
hier een subtiel verschil met aandelenopties, waarbij uitoefening gepaard gaat met levering van de stukken. Wie
geconfronteerd wordt met de uitoefening van een indexoptie, zal een geldbedrag moeten uitbetalen aan de tegenpartij. Dit bedrag wordt berekend op basis van de stand
van de index op een bepaald tijdstip op de dag van uitoefening. Mogelijk zal de portefeuille die als dekking dient niet
op hetzelfde tijdstip worden geliquideerd. Indien de waarde van de index ondertussen is gewijzigd kunnen toch risico’s ontstaan.
Het afdekken van optieposities is vooral befangrijk voor
de professionele handel in opties. Om aan de wensen van
de ‘market-makers’ op de EOE tegemoet te komen is in januari 1987 het ‘EOE Dutch Stock Index Fund’ gei’ntroduceerd. Dit fonds kan men beschouwen als een beleggingsfonds waarvan de portefeuille overeenkomt met de
samenstelling van de EOE-index, waardoor de waarde van
het fonds het gedrag van de EOE-index perfect dient te volgen. Door een positie in te nemen in het fonds zou een
marketmaker dekking kunnen creeren voor zijn positie in
EOE-index-opties. Met name omdat de transactiekosten
voor het fonds erg hoog zijn, hadden marketmakers bij nader inzien veel problemen met deze oplossing. Op 23 januari 1987 – drie dagen voor de geplande datum – werd de
introductie van index-opties mede om die reden voor onbepaalde tijd uitgesteld.
In een grondige analyse van de ontstane situatie doen
Kemna en Wijmenga 9) voorstellen om een aantal praktische problemen op te lessen. Zij richten daarbij de aandacht op de constructiemethode van de EOE-index en
merken op, dat het moeilijk is de waarde van het fonds het
verloop van de index goed te laten volgen. Deze problemen worden met name veroorzaakt door de contantedividendbetalingen die in de EOE-index worden verwaarloosd, maar die wel toekomen aan het fonds. Kemna en
Wijmenga stellen voor dit probleem op te lessen door de
index-opties eenvoudigweg het fonds als onderliggende
waarde te laten hebben (zoals bij gewone aandelenopties), mits er een duidelijke herbeleggingspolitiek wordt
vastgelegd voor het fonds. In feite is daarmee de EOEindex overbodig geworden en is alleen de waardeontwikkeling van het fonds belangrijk.
Wij menen dat het wellicht beter is het als afdekkingsinstrument slecht functionerende fonds terzijde te stellen
en index-posities grotendeels af te dekken door direct de
EOE-index-portefeuille aan te houden. Voor market makers zijn de transactiekosten ter zake zeer laag. Hierbij
moet ook in aanmerking worden genomen dat de marketmakers in vrijwel alle fondsen reeds een positie in opties
en aandelen hebben. Hun positie in index-opties zou hiermee verrekend kunnen worden. Daarnaast is het aannemelijk dat bij een drukke handel in index-opties het probleem van het afdekken van risico’s wat uit de belangstelling verdwijnt omdat marketmakers in dat geval het
evenwicht in hun portefeuille van gekochte en geschreven
index-opties gemakkelijker kunnen bewaken.

De waardering
Als afstuiting widen we enige aandacht besteden aan de
waardering van index-opties. Een uitgebreide analyse van
deze optieprijzen op de EOE is – gelet op de zeer korte
periode sinds de introductie – nog niet mogelijk. Callopties en put-opties op aandelen worden doorgaans gewaardeerd met behulp van het model van Black en Scholes. Op dit model zijn enkele varianten ontwikkeld om bij
voorbeeld rekening te kunnen houden met dividendbetalingen en voortijdige uitoefening. De vraag is nu of ook
index-opties met dit model gewaardeerd kunnen worden.
Ofschoon Evnine en Rudd 10) opvallende verschillen
signaleren tussen index-opties en aandelenopties, komen
zij op empirische gronden tot de conclusie dat toepassing
van de formule van Black en Scholes goede mogelijkheden biedt, al moet daarbij wel een aantal zaken in het oog
worden gehouden. In de eerste plaats dat het basisprincipe bij het Black en Scholes model is dat men bij een aandelenoptie een zogenaamde perfecte ‘hedgepositie’ kan vormen waarmee een portefeuille ontstaat die risicovrij is en
die zich daarom moet ontwikkelen volgens het risicovrije
rendement 11). Bij een index als onderliggende waarde is
het vormen van een perfecte dekking minder gemakkelijk
omdat men zou moeten beleggen in een groot aantal fondsen. Een bijkomend probleem hebben we reeds genoemd:
bij uitoefening van een index-optie is er het probleem dat
de afrekening van de optie en de eventuele liquidate van
de portefeuille niet op hetzelfde tijdstip geschieden, waardoor toch een risico-element aanwezig blijft. Bij indexopties van het Europese type speelt dit laatste aspect echter nauwelijks een rol omdat het tijdstip van uitoefening
vooraf bekend is (namelijk de derde vrijdag van de afloopmaand om 14.00 uur).
In de tweede plaats vormen dividenden een complicerende factor bij het opstellen van een theoretisch model
voor de waardering van calls en puts. Dit probleem kan
hanteerbaar worden gemaakt voor call-opties omdat dividendbetalingen slechts op een beperkt aantal tijdstippen
een rol spelen. Een belangrijk aspect hierbij is, dat men bij
een fors dividend een call-optie soms voortijdig moet uitoefenen om nog te kunnen profiteren van het dividend 12).
Als we een index beschouwen als een ‘basket’ van aandelen, dan zal gedurende een jaar een voortdurende stroom
van dividendbetalingen zijn waar te nemen, maar omdat
gekozen is voor index-opties van het Europese type zal
voortijdige uitoefening niet kunnen optreden. Wel dient
men een duidelijk beeld te hebben van de dividenden die
tijdens de looptijd van de optie te verwachten zijn.
Ten slotte is een van de dominante factoren bij het
opstellen van een waarderingsmodel voor opties de kansverdeling van de aandelenkoersen. Een gebruikelijke veronderstelling is dat de verdeling van de rendementen lognormaal is met een constante variantie. Het empirisch onderzoek van Evnine en Rudd lijkt aan te tonen, dat de
veronderstelling over de rendementsverdeling ook van
toepassing is voor indexcijfers. Dit is een aantrekkelijk gegeven omdat we index-opties dan kunnen waarderen met
(varianten van) het Black en Scholesmodel. Hierdoor ont7) C. Andrews, D. Ford en K. Mallison, The design of index funds and
alternative methods of replication, The Investment Analyst, oktober
1986.
8) Uit gesprekken met een aantal functionarissen uit de beleg-

gingswereld is ons gebleken dat de belangstelling voor opties en ‘futures’ bij de institutionele beleggers in Nederland thans nog vrij gering
is.
9) A.G.Z. Kemna en R.Th. Wijmenga, De EOE-index-optie: een oud
en een nieuw advies, VBA Journaal, januari 1987.
10) Evnine en Rudd, op. cit.
11) Zo’n portefeuille bestaat uit een gekochte of geschreven optie,
een aantal aandelen (long of short) en een lening. Voor het totaalpakket, mits dit voortdurend opnieuw wordt samengesteld, moet gelden
dat de koersontwikkelingen van optie en aandelen elkaar compenseren. Zie: J.C. Cox en M. Rubinstein, Option markets, Englewood
Cliffs, 1985.
12) A. Buijs, Voortijdige uitoefening van call-opties, Bedrijfskunde, januari 1986.

staat bij voorbeeld de mogelijkheid om te beoordelen of
index-opties met verschillende uitoefenprijzen en/of looptijden in de juiste verhouding worden geprijsd. Ook kan
men dan zien of de verhouding tussen put- en callprijzen
correct is.

De eerste noteringen nader bekeken
Op basis van gegevens uit het Financieele Dagblad onderzoeken we enkele eerste noteringen van EOE-indexopties. Als uitoefenprijzen kennen we 240,245 en 250, als
expiratiedata juni, juli en augustus. De Black-Scholesformule voor de berekening van de theoretische waarde van
een Europese call-optie luidt:
C, = S, N(h,) — Xe-

met
C, =
S, =
X
=
T -1 =
r
=
N(.) =
h, =
h2

r(T

Calls

Puts

BS-model

werkelijk

BS-model

werkelijk

8,00
4.50

2,07

4,07

1,50
3,00

2,40
9,10
—

6,98
3,15
5,16
7,82
4,47
6,56
9,17

5,70 b)
2,20
—
—
2,90
4,50
7,20

jun

240

7,47

jun

245

4,50

jun

250

jl
jl
jl

240
245
250

2,43
9,65
6,70
4,41
11,15
8,32
6,00

aug 240
aug 245
aug 250

4,00 a)
—
7,50
4,50

i = laten; b = bieden.

-« N(h2)

de waarde van de call-optie op tijdstip t
de aandelenkoers (hier: de index)
de uitoefenprijs
de resterende looptijd (in jaren)
het risicovrije rendement
de cumulatieve normale verdeling
{In (S,/X) + (r + % a2) (T – t)}/cr j/T -1

= h, — cry T-t

Ter illustratie van het gebruik van de formule zullen we
de theoretische waarde van de opties op 19 mei berekenen. Om de Black-Scholesformule te kunnen toepassen,
moeten we 5 grootheden invullen, namelijk S,,X, T -1, r en
a2. Voor St, het huidige niveau van de index, kan niet eenvoudig de gepubliceerde waarde van de index worden gehanteerd. We moeten namelijk nog rekening houden met
dividendbetalingen die voor de expiratiedatum optreden
op aandelen die in de index zijn opgenomen. Voor zover
de dividenden in 1987 ons niet bekend waren, zijn we ervan uitgegaan dat deze in 1987 van dezelfde omvang en
op dezelfde datum zijn als in 1986. Voor de drie expiratiedata (juni, juli, augustus) berekenen we de contante waarde op 19 mei 1987 van de dividenden die gedurende de
looptijd van de opties vallen. We noemen deze uitkomsten
de ‘dividendreductie’ op de waarde van de index. Op 19
mei 1987 vonden we als dividendreductie f. 1,89 voor de
juni-opties (dividend Aegon, Hoogovens, AMEV, Nedlloyd
en Unilever) 13), ook f. 1,89 voor de juli-opties en f. 3,07
voor de augustus-opties (dividend ABN, AMRO, KLM en
NMB). Hiermee kan de te gebruiken S, worden bepaald.
Verder moeten we een keuze maken voor r: het risicovrije rendement. Hierbij baseren we ons op het rendement
van staatsleningen. We kiezen daarom r = 0,06 voor alle
optieseries. Moeilijker is het een goede invulling te geven
voor de grootheid a2: de variantie van het rendement.
Men zou a2 kunnen schatten door een analyse te maken
van de beweeglijkheid van de EOE-index in het verleden.
We doen dat hier niet om twee redenen. In de eerste plaats
omdat de EOE-index historisch gezien moeilijk te analyseren is vanwege wijzigingen in het berekeningssysteem. In
de tweede plaats omdat men bij optiemodellen veelal
werkt met het concept van de impliciete variantie, dat is
een schattingsmethode voor de variantie waarbij het uitgangspunt is dat de marktprijzen van opties de juiste waardering aangeven. De a2 in de Black-Scholesformule die
precies uitkomt op de marktprijs wordt dan beschouwd als
de juiste waarde. In een ideale Black-Scholes-wereld zou
men aldus bij iedere optie dezelfde waarde van a2 moeten
vinden. Helaas is de praktijk wat minder ideaal. Hiervoor
zijn tal van redenen te noemen, bij voorbeeld het feit dat er
altijd onregelmatigheden kunnen zijn in de koersvorming.
Een veel toegepaste procedure is dat men veronderstelt
dat de Black-Scholesformule een bruikbaar instrument is
voor de waardering van opties. Door een van de optieprijzen als uitgangspunt te nemen, kan men vervolgens
vaststellen of de prijzen van de overige series relatief te
hoog of te laag zijn 14). In label 2 vergelijken we de werkelijke marktprijzen met de theoretische waarden van calls
en puts op 19 mei 1987. Op die datum gold 246,07 als slotnotering van de index. Rekening houdend met de divi-

532

Tabel 2. Prijzen van EOE-index-opties op 19 mei 1987

dendreductie leidt dit tot de volgende waarden die worden
ingevuld:S = 244,18 (juni-opties), S = 244,18 (juli-opties)
en S = 243 (augustus-opties). De prijs van de EOE-calloptie juni 245 bedroeg f. 4,50. Met S = 244,18 vinden we
als impliciete variantie a2 = 0,023. Hiermee berekenen
we de prijzen van de overige calls en puts 15). Omdat we
bij de variantieschatting hebben verondersteld dat de calls
juni 245 correct zijn geprijsd, komen hiervoor de theoretische waarde en de marktprijs uiteraard overeen.
Bij de tabel maken we de volgende opmerkingen:
– de berekeningsresultaten in de tabel dienen louter ter
illustratie van de beschreven aanpak. Voor een nauwkeurige analyse van prijzen van index-opties zou men
uiteraard een uitvoerig onderzoek moeten doen;
– we hebben de berekeningen gebaseerd op de slotnoteringen van de index. Gepubliceerde optiekoersen betreffen de laatst gedane transactie. Voor sommige optieseries is de laatste transactie eerder op de dag geweest, toen mogelijk een andere waarde voor de index
gold. De index varieerde die dag tussen 245,55 en
246,73;
– de uitkomsten in de tabel geven de indruk dat op 19 mei
de puts wat ondergewaardeerd zijn ten opzichte van de
calls. Misschien wordt het dividendeffect op de index
nog niet ten voile beseft.

Conclusie___________________
Met de komst van index-opties op de Europese Optiebeurs in Amsterdam is een potentieel aantrekkelijk instrument toegevoegd aan het spectrum van beleggingsmogelijkheden. Toch is het moeilijk te schatten of de EOE-opties
bij beleggers succes zullen hebben.
Hierbij speelt met name de gekozen onderliggende
waarde, de EOE-index een rol. Als problemen bij deze index zien wij thans: de index is nog weinig bekend bij het
publiek, de index lijkt door de gelijke weging in haar gedrag geen fraaie afspiegeling van de meeste beleggingsportefeuilles en de berekeningswijze van de index
verdient nog enkele verbeteringen. Het is nog te vroeg om
een duidelijk oordeel te geven over de toepasbaarheid van
de Black-Scholes-optieformules voor de waardering van
index-opties. Vergelijking van Amerikaans onderzoek op
dit gebied met de situatie met betrekking tot de EOE-index
doet vermoeden dat de Black-Scholesformule bruikbare
resultaten zal opleveren bij het berekenen van theoreti-

sche waarden van call- en putopties op de EOE-index.
E.G. Eijgenhuijsen
A. Buijs
13) Op 20 mei noteerde Aegon ex 2,4% stockdividend. In tegen-

stelling tot de daarvoor gegeven richtlijn (correctie bij ca. 2% stockdividend) heeft de EOE besloten dat dit dividend niet in de ‘basket’ van
de index wordt verrekend. Oe (theoretische) invloed van het Aegondividend is een baling van de index met 0,32. Bij uitoefening van een
index-contract kan dit dus een verschii van f. 32 betekenen!

14) Er zijn verschillende onderzoeken bekend waarbij de strategie
werd onderzocht om ondergewaardeerde opties te kopen en overgewaardeerde opties te schrijven. Soms bleek hier een voordeel mee te
behalen dat echter vaak binnen de grenzen van de transactiekosten
bleef.
15) De berekeningswijze van de put-waarde is gebaseerd op de putcall pariteit voor Europese opties.