De Life-index voor beleggingsrendement

•
correlatie-coëfficiënt
een waarde tussen
(geen correlatie) en +1 (volkomen positieve correlatie).
Van Bussel c.s. presenteren de uitkomsten van R2, t(a) en de Life-index
voor 33 Nederlandse beleggingsfondsen. Op basis van de Life-index is
aan elk fonds een rangnummer toegekend. Hetzelfde wordt hier gedaan
op basis van de maatstaven R2 en
t(a) , zodat de verschillen kunnen
worden beoordeeld met behulp van
Spearman’s correlatie-coëfficiënt.
De uitkomsten hiervan zijn weergegeven in tabel 1. De samenhang tussen R2 en t(a) is zeer hoog (+0,58),
hetgeen eveneens geldt voor elk dezer en de Life-index (resp. +0,88 en
+0,78)3. De vermelde t-waarden geven aan dat de positieve correlaties
tussen de drie rangschikkingen elk
statistisch significant zijn bij een onbetrouwbaarheid
van minder dan 1%.
Het is hieruit af te leiden dat het expliciet in beschouwing nemen van diversificatie bij de constructie van de
Life-index slechts van beperkte betekenis is voor de uiteindelijke rangschikking van beleggingsfondsen.
Voorts is op dezelfde wijze de samenhang bepaald tussen R2, t(a) en
de Life-index enerzijds en de Elsevierindex anderzijds. De positieve correlatie tussen de vier maatstaven is in alle
gevallen zeer hoog (zie tabel 1), zij
het dat die tussen R2 en de Elsevierindex significant is bij een onbetrouwbaarheid van méér dan 1% (maar minder dan 5%). Het valt derhalve nogal
mee met de verschillen die Van Bussel c.s. menen waar te nemen tussen
de rangschikkingen op basis van de
Life- en Elsevier-indices.
Een belangrijk verschil tussen beide indices is evenwel dat opeen vol-

°

Discussie

De Life-index voor
beleggingsrendement
Wat is de toegevoegde waarde van de onlangs in E5B gepresenteerde
Life-index?

Van Bussel c.s. presenteren in een
recent artikel in E5B een prestatie-index voor beleggingsfondsen,
de zogenoemde Life-index!. De auteurs
achten het noodzakelijk dat de prestaties van beleggingsfondsen
worden
gemeten aan de hand van zowel risico en rendement, als diversificatie.
De Life-index voldoet hieraan en zou
daarom “een goede en robuuste index” zijn. Zij constateren voorts “opvallende verschillen” tussen de Lifeindex en een vergelijkbare ranglijst
die regelmatig wordt gepubliceerd in
het weekblad Elsevier. Bij de laatste
wordt niet expliciet rekening gehouden met de mate waarin beleggingsfondsen zijn gediversificeerd. Hierna
volgen enkele kritische kanttekeningen bij de constructie van de Life-index en suggesties voor de verbetering ervan.
Van Bussel c.s. merken reeds op dat
de determinatie-coëfficiënt
van het
door hen gehanteerde regressiemo-

del (R2) mede wordt bepaald door de
variantie van de storingstermen. Deze
R2 wordt gehanteerd als maatstaf
voor diversificatie. De auteurs laten
evenwel na aan te geven dat de
t-waarde van de constante term
(r(a)), welke zij hanteren als maatstaf
voor risico en rendement, eveneens
mede wordt bepaald door de variantie van de storingstermen. Voor zowel R2 als t(a) geldt dat deze lager
zijn naarmate de variantie van de
storingstermen hoger is.
Dit leidt tot de verwachting dat
grote overeenkomsten
bestaan tussen
rangschikkingen op basis van R2, t(a)
en de Life-index, dat een gemiddelde
is van de eerste twee. De overeenkomsten tussen deze rangschikkingen kunnen nader worden bepaald
met behulp van Spearman’s correlatiecoëfficiënt, welke wordt berekend uit
de som van de gekwadrateerde
verschillen in rangnummers2.
Bij een positieve correlatie tussen een tweetal
rangschikkingen vertoont Spearman’s

TabelJ. slfearman’s correlatie-coëfficiënten tussen de rangschikkingen van
a, t(a.), R, Life en Elsevier
a.

t(a.)

R2

Life

a.
t(a.)

+0,95
(4,52)

R2

+0,45
(2,80)

+0,58
(3,92)

Life

+0,63
(4,52)

+0,78
(6,92)

+0,88
00,26)

Elsevier

+0,69
(5,26)

+0,77
(6,55)

+0,36
(2,12)

+0,58
(3,91)

Toelichting: alle vergelijkingen met de ranglijst van Elsevier zijn gebaseerd op 32 waarnemingen, de overige op 33 waarnemingen. De t-waarden zijn weergegeven tussen haakjes;
de kritische waarde bij een onbetrouwbaarheid van 1%(5%) en 32 waarnemingen is 2,46
(1,70). De bedoelde kritische waarde bij 33 waarnemingen is 2,45 0,70).

1. A. van Bussel e.a., De Life-index voor
beleggingsrendement, E5B, 13 juli 1994,
blz. 643-645.
2. Spearman’s correlatie-coëfficiënt is als
volgt gedefinieerd:
rs = 1 – (6 • !:ni~l dh/n3 – n)
waarbij di ~ verschil tussen rangnummers
voor beleggingsfonds i; n = aantal paarsgewijze waarnemingen.
3. De Life-index leidt tot een groot aantal
‘gedeelde’ plaatsen; de derde en veertiende plaats worden elk gedeeld door 6 fondsen, de twintigste plaats zelfs door 9 fondsen. Van Bussel e.a. sorteren binnen elke
gedeelde plaats op de hoogte van R2, zodat de getoonde volgorde van beleggingsfondsen hiermee nog sterker samenhangt
dan reeds blijkt uit de correlatie-coëfficiënt van +0,88.

gende rangschikkingen op basis van
de Elsevier-index gevoeliger zijn voor
de risico-/rendementsprestaties
van
beleggingsfondsen dan de Life-index.
Dit is toe te schrijven aan het bij
laatstgenoemde mede in beschouwing nemen van een maatstaf voor
diversificatie, waarvan de opeenvolgende uitkomsten stabiel zullen zijn.
De opeenvolgende uitkomsten van
de Life-index zullen door het expliciet in beschouwing nemen van een
maatstaf voor diversificatie eveneens
stabiel zijn. Van Bussel c.s. spreken
in dit verband van een “goede en robuuste index”.
Dit laatste kan om tenminste nog
twee redenen worden betwist. Ten
eerste kan een belegger zèlf diversificeren over verscheidene beleggingsfondsen en aldus de R2 van zijn portefeuille verhogen. Op grond van de
door Van Bussel c.s. gepresenteerde
cijfers lijkt het heel wel mogelijk hun
nummer één (Robeco) te verslaan
met een combinatie van beleggingsfondsen4. Een prestatie-index voor
beleggingsfondsen dient niet mede te
zijn gebaseerd op een maatstaf voor
diversificatie, ondanks het feit dat
deze zinvolle informatie bevat. Afzonderlijke vermelding van R2 naast de
uitkomst van een prestatie-index verdient derhalve de voorkeur.
Een tweede reden voor twijfel aan
het nut van de gepresenteerde Life-index wordt gevormd door het ontbreken van aanwijzingen dat hiermee in
de de toekomst goed renderende
beleggingsfondsen kunnen worden
geselecteerd. Zonder dergelijke aanwijzingen ontbeert het een prestatieindex natuurlijk aan de belangrijkste
reden van bestaan.
Een suggestie voor de constructie
van een zinvolle prestatie-index kan
echter worden gevonden in recent
onderzoek van Hendricks e.a.5. Met
behulp van een soortgelijk regressiemodel als dat van Van Bussel c.s.
bepalen zij per kwartaal voor een
groot aantal beleggingsfondsen het
buitengewone rendement, dat wordt
weerspiegeld door de constante term
(a). Na rangschikking van de fondsen op basis van deze prestatie-index
blijken de goed (slecht) presterende
fondsen in de daaropvolgende vier
kwartalen goed (slecht) te blijven
presteren. In het tweede jaar ná rangschikking neemt de onbetrouwbaarheid van het geschatte verband toe
tot meer dan 5%. Het korte-termijn
karakter van dit ‘hot hands’-feno-

E5B 24-8-1994

meen schrijven Hendricks c.s. toe aan
onder meer salarisverhoging dat het
management van succesvolle beleggingsfondsen kan afdwingen. Daarmee verdwijnt het positie- ve buitengewone rendement na verloop van
tijd weer.
Het ‘hot hands’-fenomeen
lijkt een
goede reden voor het construeren
van een prestatie-index en een daarvan afgeleide ranglijst. Als prestatieindex kan de a dienen die Van Bussel c.s. reeds hebben geschat met
behulp van hun regressiemodel. In tabel 1 is ter informatie de samenhang
weergegeven tussen deze enerzijds
en t(a), R2, Life-index en Elsevier-index anderzijds. De correlaties blijken
(wederom) alle significant positief te
zijn, zodat de verschillen tussen de
uitkomsten van de verschillende
maatstaven betrekkelijk gering zijn.
Een ranglijst op basis van a in plaats
van de huidige Life-index behelst echter een beter gefundeerde keuze en
heeft daarbij het voordeel van de eenvoud.
Dirk de Wit

4. Zie bij voorbeeld ook J.L. Bouma, M.
Damm en R.A.J.M. Kamphuis, Beleggen in
beleggingsfondsen:
Een MPT-benadering,

Maandblad voor Accountancy en Bedrijfteconomie, jg. 66, nr. 3, 1992, blz. 84- 95.
5. D. Hendricks e.a., Hot hands in mutual
funds: short-run persistence of relative
performance, 1974-1988, journalof Finance, jg. 48, nr. 1, 1993, blz. 93-130.

Naschrift
In zijn kritisch commentaar betoogt
De Wit weinig te zien in een diversificatie-maatstaf. In dit naschrift willen
we een paar stellingen uit het commentaar van De Wit, die naar onze
mening onjuist zijn, corrigeren, en
nogmaals uiteenzetten waarom diversificatie een essentieel onderdeel van
het meten van de performance van
een beleggingsfonds is.
De eerste opmerking van De Wit gaat
over de samenhang tussen R2 van
een regressie en t(a), de t-waarde
van de constante term in een regressie. Het is echter een misvatting dat
op theoretische gronden enig ver-

band tussen deze twee grootheden te
verwachten is. Integendeel, zoals ieder inleidend econometrie boek laat
zien, is de R2 volledig ongevoelig
voor de hoogte van de constante
terml. Verhoog bij voorbeeld het rendement van een fonds in elke maand
met één procent, dan zal cr stijgen,
zal ook de t-waarde stijgen, maar
blijft R2 ongewijzigd. De R2-maatstaf
geeft aan in hoeverre een fonds gecorreleerd is met de verschillende indices, terwijl a aangeeft of een fonds
systematisch buitengewoon rendement behaalt, ongerelateerd aan de
gevoeligheden voor de verschillende
marktindices. Dat De Wit vindt dat
beide maatstaven empirisch positief
gecorreleerd zijn, is mooi meegenomen en maakt de Life-index minder
gevoelig voor de gewichten die we
aan beide criteria toekennen. Goede
fondsen zijn dus vaak op meerdere
punten goed.
Het tweede kritiekpunt van De Wit
is dat een diversificatie-maatstaf eigenlijk irrelevant is. Beleggers kunnen immers zelf diversificeren en
hoeven dat niet aan beleggingsfondsen over te laten. Wie zich echter op
dit argument beroept, moet eerst de
vraag beantwoorden wat het bestaansrecht van beleggingsfondsen
. dan is? Een particulier kan immers
privé ook alle losse fondsen kopen
en geheel zelf een portefeuille samenstellen. Het nut van beleggingsfondsen is dat ze het de particulier makkelijk maken. Een individu moet wel
zeer vermogend zijn om zelf een
goed gespreide portefeuille samen te
stellen. Verder moet een individu dan
ook zelf alles beheersen, en zelf informatie over vele bedrijven verzamelen. Juist door zijn geld in een belegginfsfonds te stoppen, kan hij wat
betreft spreiding en beleggingsonderzoek van schaalvoordelen profiteren.
Vanuit de kleine particuliere belegger
geredeneerd moet het dan natuurlijk
niet zo zijn dat hij weer een portefeuille van beleggingsfondsen moet
gaan samenstellen, en zodoende toch
weer zelf kostbare informatie vergaren. Om deze reden lijkt ons dat
spreiding een essentiële maatstaf bij
de beoordeling van beleggingsfondsen is.

(Zie vervolg op bladzijde 752)
1. Zie bij voorbeeld bladzijde 211-213 in
Judge e.a. Introduetion to the theory and
practice of ecànometrics, 2e druk, Wiley,
1988.

Vervolg van bladzijde 74.7
Het grote probleem met de Jensenmaatstaf (a), en ook de door Elsevier
gehanteerde Sharpe-maatstaf (het
quotiënt van rendement en de bijbehorende standaarddeviatie), is dat
deze erg gevoelig zijn voor eenmalige uitschieters. Een rangschikking
puur gebaseerd op deze maatstaven
is daarom waarschijnlijk instabiel
door de tijd. Op grond van financiële
theorie en veel empirisch onderzoek
zouden we dat ook verwachten. Als
het CAPM bij benadering waar is, dan
zal geen enkel beleggingsfonds er in
slagen systematisch beter dan de
markt te presteren. Buitengewone
rendementen (d.w.z. rendement na
correctie voor systematisch risico)
zullen ongeveer nul zijn, met als gevolg dat op basis van a weinig onderscheid tussen fondsen te maken zal
zijn2. Daarom ook eindigen zoveel
fondsen ex aequo wat betreft de Jensen-maatstaf.
Mede omdat de Jensen-maatstaf
geen onderscheid kan maken tussen
de door ons onderzochte beleggingsfondsen, betrekken we de diversificatie-maatstaf in onze Life-index. Het
gewicht dat we aan elk van beide criteria toekennen is echter onze subjectieve keuze. De Wit’s persoonlijke
keuze is blijkbaar om geen gewicht
toe tekennen aan diversificatie, en
dat is een legitieme vorm van vrije
meningsuiting. Maar dat heeft niets
met kritiek over de onderbouwing
van de verschillende criteria te maken.
Arjan van Bussel, Kees Koedijk
en Peter Schotman

2. Het is natuurlijk best mogelijk dat via
uitgebreid onderzoek fondsen te vinden
zijn die het korte tijd beter doen dan de
markt. Door actief van fonds te wisseleen
zal het dan ook best kunnen dat de markt
te verslaan is (als de kosten om in en uit
een beleggingsfonds te stappen ten minste niet te hoog zijn!), zoals het door De
Wit aangehaalde onderzoek van Hendricks e.a. aantoont. Dit is niets anders
dan opbrengsten en kosten van informatie.