Over Piketty’s race tussen kapitaal en arbeid – wonkish

Ik ben bezig Piketty’s Capital te lezen. Ik heb het nog lang niet uit. Maar het is een fascinerend boek (lees dat boek!). Het empirische onderzoek dat eraan ten grondslag ligt, is fenomenaal.

Piketty’s centrale idee is dat vermogen steeds belangrijker wordt. Kapitaal en arbeid zijn in een race verwikkeld. Dit is vrij naar analogie van Tinbergen’s race tussen technologie en scholing. Als de beloning voor kapitaal, het rendement r, veel hoger wordt dan de groeivoet g van de economie, het rendement op arbeid, dan wordt volgens Piketty vermogen(songelijkheid) steeds belangrijker en wordt de race verloren door arbeid. Aldus zal de Westerse wereld weer terugkeren naar een rentenierssamenleving die we kennen uit de 19^e eeuw.

Piketty lijkt alleen geen theorie te ontwikkelen. Waarom moeten we aannemen dat op lange termijn r veel groter dan g zou worden? Dat is iets dat mij vooralsnog stoort in zijn boek. Piketty doet alsof het rendement op kapitaal r en de economische groei g zich volkomen onafhankelijk van elkaar zouden kunnen ontwikkelen op zeer lange termijn. En in zijn berekeningen gaan die zelfs tot aan 2100 of 2200 – ceteris paribus.

Krugman maakte in zijn lovende review van Piketty’s boek een terloopse opmerking waardoor ik werd gealarmeerd: “To be sure, this is a race that can have no permanent victor: over the very long run, the stock of capital and total income must grow at roughly the same rate.” Dat r veel groter wordt dan g op zo’n lange termijn lijkt me, net als Krugman, een analytisch onjuiste stellingname. Alleen Krugman verbindt daar geen relevante conclusie aan. Maar die is mogelijk verstrekkend voor de hoofdthese van Piketty.

Om te zien hoe het rendement op kapitaal en de groeivoet van de economie zich op lange termijn verhouden, hebben we ook theorie nodig en niet alleen empirie. Veronderstel dat de economie wordt beschreven door een standaard neoklassiek groeimodel (voor insiders: Solow of Ramsey). Output Y is gegeven door een productiefunctie F(K, AL) met constante schaalvoordelen in kapitaal K en effectieve arbeid AL. A is een productiviteitsparameter en L is het arbeidsaanbod. De productiefunctie F(.) heeft positieve, maar afnemende meeropbrengsten in iedere productiefactor (K en AL). Bovendien veronderstel ik dat de marginale productiviteit van iedere factor oneindig hoog is als die niet wordt ingeschakeld en naar nul gaat als er oneindig veel van wordt ingezet – de zogenaamde Inada condities.

Ik neem aan dat de bevolkingsgroei n = (dL/dt)/L  constant is, evenals de arbeidsvermeerderende technologische ontwikkeling x = (dA/dt)/A. Tevens neem ik aan dat de afschrijvingsvoet op kapitaal constant is en gelijk is aan δ.

Als de economie op lange termijn convergeert naar een stationaire toestand, dan wordt de kapitaal-effectievearbeid-verhouding constant en gelijk aan k = K/AL. En dan is de groeivoet g van de economie gegeven door: g = (dY/dt)/Y = (dK/dt)/K = (d(AL)/dt)/(AL) = n + x. Het rendement op kapitaal wordt dan constant en gelijk aan r = f’(k) – δ. Dus vinden we in de stationaire toestand dat het verschil tussen de rente en de groeivoet een constante wordt! Het verschil is: r – g = f’(k) – δ – n – x.

Het spaargedrag van huishoudens bepaalt hoe groot de stationaire kapitaal-arbeidsverhouding k wordt. Dat is verder niet belangrijk voor de rest van dit betoog. Maar voor de liefhebber bespreek ik Solow (1956) en Ramsey (1928). Bij het Solow-model is het heel simpel. De besparingen zijn een constante fractie s van het inkomen en worden in de stationaire toestand gelijk aan sf(k) = (δ + n + x)k. Hieruit volgt impliciet k als functie van s (+), δ (-), n (-) en x (-). Als we een Cobb-Douglas productiefunctie veronderstellen, f(k) = k^α met  0 < α < 1, dan kunnen we expliciet oplossen voor r – g = (α/s – 1)(δ + n + x). 

Bij het Ramsey-model optimaliseren huishoudens hun besparingen door hun intertemporele nutsfunctie te maximaliseren. De Euler-vergelijking voor consumptie-per-arbeidseenheid c = C/AL is dan gegeven door (dc/dt)/c = σ(f’(k) – δ – ρ – x/σ), waar σ de intertemporele substitutie-elasticiteit in consumptie is en ρ de tijdsvoorkeursvoet. In de stationaire toestand groeit de consumptie eveneens met n + x en wordt dc/dt = 0. Hieruit volgt impliciet k als functie van σ (+), ρ (-), δ (-), x (-). In dat geval is r – g = ρ – n + (1/σ – 1)x.

Wat we verder veronderstellen ten aanzien van het spaargedrag van huishoudens, we vinden op lange termijn dat moet gelden dat r = constante + g. Of, in andere woorden: het rendement op kapitaal gaat 1-op-1 omhoog met de groeivoet van de economie (en vice versa). Dit is dus precies wat Krugman terloops beweerde.

Merk ook op dat wanneer de bevolkingsgroei n afneemt – een van Piketty’s belangrijke argumenten om een lagere groei aan te nemen – het niet duidelijk is of r – g daalt (Solow-model) of juist stijgt (Ramsey-model) als we aannemen dat r > g wat empirisch de relevante case is. Het hangt dus van de modellering van het spaargedrag af of r – g stijgt of daalt als n daalt.

Een hogere productiviteitsgroei x doet het verschil r – g juist toenemen bij zowel Solow als Ramsey (als σ < 1, wederom de relevante case). Dit is in tegenspraak met Piketty die suggereert dat door kennisverspreiding en onderwijs – waardoor mensen productiever worden en x positief is – het verschil tussen r en g juist daalt.

Deze simpele voorbeelden laten zien dat het theoretisch onmogelijk is om r en g los van elkaar te beschouwen en dat beide op lange termijn aan elkaar zijn gelinkt. Er bestaat natuurlijk buiten de stationaire toestand van de economie een veel gecompliceerdere relatie tussen r en g. Maar op zeer lange termijn (zeg tot 2100) en als we alle andere zaken constant veronderstellen – ceteris paribus – kan het nooit zo zijn dat r en g volledig ontkoppelen, zoals Piketty nu doet voorkomen.

Om te begrijpen hoe de rendementen op kapitaal en arbeid zich op zeer lange termijn ontwikkelen, zal Piketty met een theorie daarover moeten komen. Maar ik krijg de indruk uit deze blog van Diane Coyle dat dit niet zo is. Ik ben dus vooralsnog nog sceptisch over de centrale these van Piketty, dat de race tussen kapitaal en arbeid bij voorbaat wordt verloren door arbeid. Wellicht lees ik daarover later meer, want ik heb het boek nog niet uit. Wordt vervolgd.

ps. Deze blog is ge-update. Duidelijker is aangegeven dat het niet gaat over de vraag of r > g, maar over de vraag of het verschil r – g automatisch groter wordt. Daarnaast analyseert het de effecten van minder bevolkingsgroei en minder technische ontwikkeling op het verschil r – g.