ontwikkeling
De speltheorie van de Sonttol
In de zestiende eeuw introduceerde de Deense koning een
ingenieuze methode om belastingplichtige schippers de
waarde van hun lading op te laten geven. Een speltheoretische analyse van die methode laat zien dat deze ook nu
nog relevant is.
O
Marco Haan,
Pim Heijnen,
Bert Schoonbeek en
Linda Toolsema
Universitair hoofddocent
aan de Rijksuniversiteit
Groningen, onderzoeker
aan de Universiteit van
Amsterdam, universitair
hoofddocent aan de Rijksuniversiteit Groningen
en medewerker COELO
en Rijksuniversiteit
Groningen
278
ESB
mstreeks 1425 liet Erik van Pommeren,
de Deense koning Erik VII, het fort
Krogen bouwen bij de huidige stad
Helsingør in Denemarken. Het fort stond
op een landtong in de Sont (Øresund), de zeestraat
tussen Denemarken en Zweden die hier maar vier
kilometer breed is. Destijds had het fort als doel het
heffen van tol op buitenlandse schepen die door de
straat voeren.
De Sonttol werd geheven van 1429 tot 1857 en was
eeuwenlang de belangrijkste inkomstenbron voor de
Deense kroon. Aanvankelijk ging het om een vast bedrag per schip, maar in 1567 introduceerde koning
Frederik II een ad valorem belasting die vervolgens
steeds zo’n een à twee procent van de waarde van
de lading bedroeg (Menefee, 1996). Het is voor de
belastingautoriteit geen eenvoudige opgave om de
waarde te bepalen van de vracht van een schip. De
meest simpele benadering is om een schipper er
gewoon naar te vragen. Maar natuurlijk gaat die dan
beweren dat zijn vracht vrijwel waardeloos is. De
Denen wisten nog niets van speltheorie, laat staan
van mechanism design, de tak van de speltheorie
waarmee dergelijke problemen in de laatste decennia worden opgelost, en die een paar maanden geleden nog leidde tot de toekenning van de Nobelprijs
Economie aan Hurwicz, Maskin en Myerson. Toch
kwamen ze met een bijzonder slimme oplossing. Een
passerende schipper werd gevraagd naar de waarde
van zijn vracht, en in principe werd op basis van die
opgegeven waarde belasting geheven. Maar de koning behield zich het recht voor om de lading op te
kopen tegen de opgegeven waarde. Wie een te hoge
waarde opgaf, liep het risico om te veel belasting te
betalen. Maar wie een te lage waarde opgaf, liep het
risico dat de koning de vracht voor een prikje op de
kop zou tikken.
Zelf opgegeven waarde
De methode van de Denen vond navolging. Sun YatSen, de eerste president van China, stelde in 1905
een grondbelasting voor volgens hetzelfde principe.
Ook in andere situaties is de methode gebruikt. Ook
bij invoer- en uitvoerrechten is de methode gebruikt
(Haan et al., 2008). De belangrijkste vragen voor
93(4534) 2 mei 2008
een econoom zijn natuurlijk de volgende. Geeft dit
mechanisme de belastingbetaler een prikkel om de
juiste waarde op te geven? Kan het worden gebruikt
om de gewenste belastingvoet te implementeren?
Door middel van een speltheoretische benadering
kan geanalyseerd worden of de intuïtie van Frederik
II, Sun Yat-Sen en anderen juist was.
Een model van de Sonttol
Het mechanisme van de Sonttol kan worden gemodelleerd als een spel met asymmetrische informatie
(Haan et al., 2008). Er zijn twee spelers, de schipper en (een vertegenwoordiger van) de koning. De
werkelijke waarde v van de vracht is een toevalsvariabele die wel bekend is bij de schipper, maar
niet bij de koning. De verwachte waarde bedraagt
μ. Voor het gemak kan ervan uitgegaan worden dat
de koning geen poging doet om een schatting van
de werkelijke waarde te maken, bijvoorbeeld door
het schip te laten inspecteren. De schipper is als
eerste aan zet en moet een waarde m opgeven,
die vanzelfsprekend niet gelijk hoeft te zijn aan de
werkelijke waarde v. Vervolgens beslist de koning of
hij de aangifte accepteert en dus belasting heft over
de waarde m, of dat hij de aangifte afwijst en de
lading opkoopt tegen de prijs m. Bij belastingheffing
is de opbrengst voor de koning gelijk aan tm, waarbij
t staat voor het belastingtarief dat tussen 0 en 1
ligt. Kiest de koning voor opkopen, dan wordt hij de
eigenaar van de vracht. Zijn opbrengst is dan gelijk
aan de werkelijke waarde v minus de prijs m. Tabel
1 vat de uitkomsten voor beide spelers samen. De
koning streeft naar een zo hoog mogelijke opbrengst,
de schipper naar zo laag mogelijke kosten.
In een Nash-evenwicht is de strategie van elke speler een optimale keuze, gegeven het gedrag van de
andere speler. Er is zo’n evenwicht waarin de koning
de vracht opkoopt met kans p = t/(1+t), ongeacht
de aangifte van de schipper (Haan et al., 2008). De
waarde die de schipper opgeeft is dan altijd gelijk
aan m = v/(1+t), minder dan de werkelijke waarde
dus. Gegeven deze strategie van de schipper heeft
de koning een opbrengst van tm = tv/(1+t) als hij
Tabel 1
Speler
Koning
Schipper
Opbrengsten en kosten van koning en
schipper in het Sonttol-spel.
Beslissing van de koning
Accepteren
Afwijzen
(belasting heffen)
(opkopen)
tm
v–m
–tm
–(v–m)
besluit belasting te heffen. Zijn opbrengst als hij besluit de vracht op te kopen, is precies dezelfde: v–m
= tv/(1+t). Gegeven wat de schipper doet, maakt
het voor de koning dus niet uit welke keuze hij
maakt. Daarom is hij bereid de strategie te gebruiken die hierboven is geschetst. Gegeven de strategie van de koning weet de schipper dat zijn kosten
v–m zijn met kans p, en tm met kans 1–p. Met p
= t/(1+t) betekent dat dat de verwachte kosten tv/
(1+t) zijn. Belangrijk om op te merken is dat die
verwachte kosten onafhankelijk zijn van m. Gegeven
wat de koning doet, maakt het voor de schipper dus
niet uit welke aangifte hij doet. Daarom is hij ook
bereid de strategie te gebruiken die hierboven wordt
geschetst. Dit is dus een Nash-evenwicht: gegeven
de strategie van de koning, kiest de schipper de
best mogelijke strategie, en andersom.
Nu zijn er in dit spel nog veel meer Nashevenwichten. Die zien er aanzienlijk ingewikkelder
uit dan het scheidend evenwicht dat hierboven is
beschreven. Maar wat al die evenwichten gemeen
hebben, is dat de verwachte opbrengst van de
koning, en dus de verwachte kosten van de schipper, altijd precies tμ/(1+t) zijn. De koning kan
deze wetenschap gebruiken en het belastingtarief t
zodanig vaststellen dat hij precies de gewenste effectieve belastingvoet bereikt. Stel dat de koning bij
volledige informatie een belastingvoet t* zou willen
hanteren. Dan kan hij in deze situatie met asymmetrische informatie die belastingvoet bereiken door
een tarief t = t*/(1–t*) te zetten. De schipper geeft
gemiddeld genomen een waarde op die lager is
dan de werkelijke waarde. Maar de koning weet dat
en heft ter compensatie een belasting die net iets
hoger is dan wat hij anders zou heffen.
Bovenstaande resultaten laten zien dat belastingheffing op basis van een zelf opgegeven waarde,
zoals bij de Sonttol, efficiënt is, in de zin dat de
overheid gemiddeld genomen de gewenste belasting
kan heffen, ondanks het feit dat de belastingbetaler
niet de werkelijke waarde opgeeft. In het evenwicht
hierboven betaalt de schipper zelfs exact de gewenste belasting. Het is niet nodig dat de overheid
de belastinggrondslag onderzoekt en bijvoorbeeld
de lading van een schip laat inspecteren en taxeren.
Door haar eenvoud kan de strategie gemakkelijk
door de koning worden gespeeld, of worden opgelegd aan een belastinginspecteur. Ook hangt de
strategie niet af van de kansverdeling van werkelijke
waarden. De strategie is dus stabiel over de tijd en
ongevoelig voor veranderende omstandigheden.
Natuurlijk zitten er in de praktijk haken en ogen aan
een dergelijke methode. Er komt nogal wat bureaucratische rompslomp bij kijken wanneer een belastinginspecteur een vast percentage van alle ladingen
moet opkopen. Al die goederen moeten worden
opgeslagen en vervolgens weer worden doorverkocht.
Met andere woorden, de waarde zou uiteindelijk
voor de koning wel eens een stuk lager kunnen zijn
dan voor de schipper. Anders dan hierboven is er
dan geen sprake van een nulsomspel. Het mooie is
echter dat dat niet uitmaakt. Haan et al. (2008) laten zien dat de koning ook in
dat geval precies de gewenste netto-opbrengst kan genereren.
Andere situaties met zelf opgegeven waarde
De lessen van de Sonttol kunnen ook in andere situaties worden toegepast.
Stel bijvoorbeeld dat twee zakenpartners een gezamenlijke onderneming willen beëindigen. Het enige probleem is het vaststellen van een geschikte prijs.
Stel dat partner B beter geïnformeerd is over de werkelijke waarde. Partner A
kan dan aan partner B vragen een prijs voor te stellen, waarbij A vervolgens het
recht heeft om zijn eigen deel voor die prijs aan B te verkopen, of juist het deel
van B tegen die prijs aan te schaffen. In de literatuur staat dit bekend als een
shotgun-clausule. Precies hetzelfde mechanisme kan ook gebruikt worden bij het
beëindigen van een publiek-private samenwerking, waarbij de private partij beter
geïnformeerd is over de waarde van het project dan de overheid.
Dezelfde logica blijkt ook van toepassing bij aangiftes voor inkomstenbelasting.
Stel dat een belastingbetaler een inkomen v heeft en een aangifte m doet.
Accepteert de belastingdienst de aangifte, dan is de belastingaanslag tm, waarbij
voor het gemak wordt uitgegaan van een proportionele belasting. De belastingdienst kan echter ook besluiten de aangifte te controleren en zelf de werkelijke
waarde v te bepalen. Dat betekent extra kosten voor de belastingdienst, een
belastingaanslag van tv, en een boete voor de belastingbetaler wanneer v groter
blijkt dan m. Deze situatie kan eenvoudig worden gevat in een spel dat sterk lijkt
op dat in Tabel 1. Met behulp van een soortgelijke analyse kan worden aangetoond dat ook in dat geval de belastingdienst de gewenste effectieve belastingvoet kan implementeren door simpelweg een vast percentage van de aangiftes te
controleren, willekeurig en niet afhankelijk van het opgegeven inkomen.
Conclusie
In de zestiende eeuw introduceerde koning Frederik II van Denemarken een ingenieuze methode om belasting te heffen. Die methode leidt er niet toe dat belastingplichtigen eerlijk de werkelijke waarde van hun goederen opgeven, zoals door
beoefenaars van mechanism design wordt vereist. Maar de methode impliceert
wel dat gemiddeld genomen de gewenste belastingvoet geïmplementeerd kan
worden. Bovendien is de methode eenvoudig en kan zij simpel worden uitgevoerd,
zonder de noodzaak van kostbare inspecties. Naast belastingen als de Sonttol zijn
ook andere toepassingen beschreven van hetzelfde mechanisme. Steeds gaat het
om een situatie met twee spelers, van wie er één volledig geïnformeerd is over
een bepaalde waarde, en de ander in het geheel niet. Telkens blijkt de niet-geïnformeerde partij gebruik te kunnen maken van een mechanisme dat lijkt op dat
van de Sonttol, en steeds blijkt zij dezelfde opbrengst te kunnen behalen, ongeacht het Nash-evenwicht dat gespeeld wordt. Natuurlijk kleven er ook nadelen
aan deze methode. Bij een belasting als de Sonttol moet de overheid in sommige
gevallen de lading opkopen. Bij een grond- of onroerendgoedbelasting kunnen
er morele bezwaren zijn tegen de dreiging van het opkopen van iemands land
of woning, zeker wanneer dit, zoals in dit verhaal, op willekeurige wijze gebeurt
en niet als boete voor een onjuiste belastingaangifte. Belastingplichtigen raken
echter niet zomaar hun bezit kwijt; er staat ook een vergoeding tegenover. De
Denen hanteerden dus een uitermate slim systeem om passerende schepen het
gewenste tolbedrag te ontfutselen. Dat ze dat systeem vele eeuwen voor de ontwikkeling van de speltheorie bedachten, maakt die prestatie des te opmerkelijker.
Literatuur
Haan, M.A., P. Heijnen, L. Schoonbeek en L.A. Toolsema (2008)
Sound taxation? On the use of self-declared value. CeNDEF
Working paper, 08-02, Universiteit van Amsterdam.
Menefee, S.P. (1996) The Sound Dues and Access to the Baltic
Sea. In: Platzöder, R. en P. Verlaan (red.) The Baltic Sea: New
Developments in National Policies and International Cooperation.
Den Haag: Kluwer Law International, 101–132.
ESB
93(4534) 2 mei 2008
279