Dynamisch spitsgedrag van automobilisten

ESB Dossier Gedragseconomie voor milieubeleid

mobiliteit

Dynamisch spitsgedrag
van automobilisten
Bestrijding van filedruk is een van de centrale uitdagingen
voor beleidsmakers. Daarbij verdient het dynamische model van spitsverkeer extra aandacht. Regulerende heffingen
volgens dit model hebben een gunstiger effect op het gedrag van weggebruikers dan heffingen volgens het veel gehanteerde statische model van Pigou. Ook blijkt dat ICToplossingen niet moeten worden overschat.

ERIK
VERHOEF
Hoogleraar aan de
Vrije Universiteit
Amsterdam

70

E

en van de belangrijkste grondleggers van de
huidige milieu-economie is ongetwijfeld
de Cambridge-econoom Arthur Pigou.
Zijn theorievorming rond externe kosten,
en de economische wenselijkheid van belastingen voor
het corrigeren van dit marktfalen, vormt het economisch fundament onder het principe van regulerende
milieuheffingen. Toen hij dit idee in 1920 voor het
eerst publiceerde, dacht hij overigens niet aan het milieu, maar aan het terugdringen van files.
Inmiddels vormt verkeerscongestie, nu veel meer
dan destijds, een uitdaging voor het beleid. Het is daarnaast nog steeds een aansprekende toepassing om de
economische principes van regulering van externe effecten te illustreren. Verkeerscongestie kan worden ge-

bruikt om te laten zien hoe belangrijk het is het ‘juiste’
gedragsmodel te kennen voor het formuleren van beleid gericht op marktfalen, en voor het voorspellen van
de welvaartswinsten die daarmee gerealiseerd kunnen
worden. We doen dit door de beleidsconclusies van
statische en dynamische modellen van verkeerscongestie met elkaar te vergelijken. Dynamische modellen
verschillen onder meer van de statische doordat ze tijdstipkeuze expliciet beschrijven, en daardoor ook rekening houden met aanpassingen van deze tijdstippen als
er nieuw beleid wordt ingevoerd.
Tijdstipkeuze is op zich al van belang voor het
beleid, al is het maar omdat het cruciaal is voor het
maken van betrouwbare voorspellingen van de effecten van verschillende maatregelen om spitsdrukte het
hoofd te bieden. En het is juist de problematiek rond
verkeer op drukke tijden en plaatsen waar in het beleid
veel aandacht naar uitgaat. Daarnaast biedt vergelijking van statische en dynamische modellen een goede
gelegenheid om in te gaan op de algemenere economische vraag hoe het negeren van relevante margins of
behaviour, ofwel de verschillende aspecten waarover
keuzes worden gemaakt, tot vertekeningen in beleidsmodellen en -adviezen kan leiden.
Dit is van belang omdat het in werkelijkheid
slechts zelden het geval is dat consumenten en producenten alleen maar over hoeveelheden (en de bijbehorende prijzen) nadenken, zoals in de tweedimensionale
plaatjes van marktevenwichten en -optima. Beleids-

De auteur heeft verklaard dit artikel alleen te publiceren in ESB en niet elders
te publiceren in wat voor medium dan ook. Het is wel toegestaan om het artikel voor eigen gebruik
en voor publicatie op een intranet van de werkgever van de auteur aan te wenden.

Jaargang 98 (4672S) 8 november 2013

ESB Dossier Gedragseconomie voor milieubeleid

conclusies en adviezen kunnen drastisch wijzigen als
Optimale heffing in het
we er rekening mee houden dat weggebruikers niet
alleen over het aantal spitsritten keuzes maken, maar
statische model
ook over het moment van die ritten binnen de spits.
In euro
Het negeren daarvan kan tot forse fouten leiden. Het
onderstreept daarmee het belang van het goed kennen
cS(t)
van de relevante gedragsmarges voor het verrichtenc = p = p
(c = ½ x p )
van economisch beleidsonderzoek.
cT0(t) = Ï„(t)
0
1

0

figuur 1

cS(t)

1

1

VERKEERSCONGESTIE

Het economische basismodel van verkeerscongestie
wordt in figuur 1 samengevat. Het is een statisch model, waarin de marktuitkomst wordt uitgedrukt in de
verkeersstroom – het aantal voertuigen dat per uur
een bepaald punt langs de weg passeert, en daarmee
het aantal ritten dat per tijdseenheid wordt voltooid.
Als congestie relevant is, daalt de snelheid en stijgt de
reistijd T met het aantal weggebruikers. Als we andere
kosten, zoals brandstof, negeren omdat ze de analyse
niet wezenlijk beïnvloeden, en die reistijd met de zogeheten value of time – de reistijdwaardering, α – vermenigvuldigen, krijgen we een stijgende gemiddelde
kostenfunctie, gk = α∙T. Het vrijemarktevenwicht F0 is
daar waar de inverse vraagfunctie d – zoals gebruikelijk met hoeveelheid langs de horizontale en prijs langs
de verticale as – de functie gk snijdt; de zogeheten gegeneraliseerde prijs p0 is daar gelijk aan de marginale
betalingsbereidheid (d) en bestaat louter uit tijdkosten
(gk0). Omdat de gemiddelde kosten stijgen met het
aantal weggebruikers, liggen de marginale kosten mk
boven gk; het verschil zijn de marginale externe kosten
mek. Het optimale niveau van weggebruik ligt bij het
snijpunt van d en mk; bij F1 dus. Dat het verschil tussen mk en gk precies de waarde van de marginale externe kosten geeft, volgt ook uit het toepassen van de
productregel bij het differentiëren van de totale kosten
F∙gk(F). Dat levert op mk = gk+F∙gk’. De tweede term
geeft het aantal andere gebruikers (F) maal het effect
op de kosten per gebruiker van een extra eenheid verkeer (gk’) en geeft daarmee inderdaad de mek.
Pigou zag in dat dit optimum bereikt kan worden door de optimale tol Ï„ in te voeren, gelijk aan de
mek in het optimum. Hiermee wordt een toename in
het maatschappelijk surplus gerealiseerd dat gegeven
wordt door de grijze ‘driehoek’: de afname in kosten
(het gebied onder mk tussen F1 en F0), minus de afname in baten (onder d). Pigou gebruikte zo het voorbeeld van een weg met verkeerscongestie om te laten
zien dat de kosten aan reistijdverliezen, die een extra
Jaargang 98 (4672S) 8 november 2013

cS(t)
tB

β

γ

t*

tE
Exit tijd t

weggebruiker door lagere snelheid op de weg voor
alle andere gebruikers veroorzaakt, voor een efficiënte
marktuitkomst geïnternaliseerd moeten worden.
Het statische model heeft een aantal redelijk intuïtieve beleidsconclusies. Een eerste is dat de gegeneraliseerde prijs p toeneemt als een tol wordt ingevoerd: de
waarde van tijdswinsten per gebruiker (de daling in gk)
weegt niet volledig op tegen de te betalen tol Ï„; anders
kan F ook niet afnemen. Een tweede conclusie is een
gevolg van de eerste: iedereen, behalve de overheid, is
slechter af door invoering van de optimale tol (bij heterogeniteit in tijdswaardering kan deze conclusie overigens veranderen). En een derde conclusie is dat weggebruikers wel een alternatief (bijvoorbeeld reizen buiten
de spits, ov, thuiswerken, alternatief vervoer) moeten
hebben om daadwerkelijk een welvaartswinst te bereiken: bij een perfect inelastische vraag wordt d vertikaal
en wordt het oppervlak van de grijze driehoek nul.
DYNAMISCH MODEL

In werkelijkheid is spitsdrukte op de weg natuurlijk
een dynamisch fenomeen. In plaats van een afgemeten
spitsperiode met constante verkeerscondities volgens

De auteur heeft verklaard dit artikel alleen te publiceren in ESB en niet elders
te publiceren in wat voor medium dan ook. Het is wel toegestaan om het artikel voor eigen gebruik
en voor publicatie op een intranet van de werkgever van de auteur aan te wenden.

71

ESB Dossier Gedragseconomie voor milieubeleid

figuur 1, en géén congestie daarbuiten, zien we graduele toe- en afnames van verkeersdrukte. Alleen daarom
al verdient een dynamische modellering de voorkeur:
het is realistischer. Bovendien blijkt dat, op het moment dat met tijdstipaanpassingen rekening wordt
gehouden, de conclusies van economische beleidsanalyses kunnen veranderen.
Voordat we daar dieper op ingaan, is het goed te
benadrukken dat diverse studies het empirische belang
van tijdstipaanpassingen als reactie op tijdstipafhankelijke heffingen onderstrepen. We noemen er twee.
Voor vermoedelijk de eerste toepassing van tijdsafhankelijke heffingen in Singapore in 1975 waren de tijdstip-effecten dermate groot, dat vermoed mag worden
dat de heffing te hoog was: een afname van het aantal
cordon-passages in de restricted period met 73 procent
en een toename daarbuiten met 23 procent (Santos et
al., 2004).
Recenter en dichter bij huis zijn ervaringen met
diverse experimenten met ‘Spitsmijden’ in Nederland
(Spitsmijden Consortium, 2007), waarbij het vermijden van de spits door automobilisten beloond wordt.
Bijvoorbeeld bij de eerste van deze projecten, gehouden
in 2006 op de A12, werd grofweg drie vijfde van de
spitsmijdingen gerealiseerd door vóór de spits met de
auto te rijden, één vijfde door dat na de spits te doen,
en één vijfde door met het ov te reizen (omdat de percentages verschillen over bijvoorbeeld hogere en lagere
beloningen, houden we het hier bij een grove indicatie).

Optimale heffingen in het dynamische
bottleneckmodel

figuur 2

In euro

c0 = p0 = p1
(c 1 = ½ × p 1)

cS(t)

cS(t)
cT0(t) = Ï„(t)

cS(t)
tB

72

β

γ
t*

tE
Exit tijd t

En hiermee in overeenstemming, in een overzicht van
het Ministerie van Infrastructuur en Milieu (2011) van
verschillende recente projecten wordt gezegd, dat bijna
75 procent van alle gedragsveranderingen tijdstipaanpassingen betreft. Kortom, tijdstipaanpassingen blijken
potentieel belangrijk te zijn.
HET BOTTLENECKMODEL VAN VICKREY

De latere Nobelprijswinnaar William Vickrey presenteerde in 1969 een eenvoudig maar overtuigend dynamisch economisch evenwichtsmodel van verkeerscongestie, dat nog steeds veel gebruikt wordt. Essentieel
is dat in het model tijdstipkeuze binnen de spits endogeen is, en tot stand komt door een afruil tussen de
schedule delay cost of tijdstipkosten cS, en de reistijdkosten cT (figuur 2). De eerstgenoemde is nieuw ten opzichte van het statische model, en geeft de kosten die
gemoeid zijn met het eerder of later op de bestemming
(zeg: het werk) aankomen dan het gewenste tijdstip
t*. Door daaraan een constante kost per minuut toe te
kennen, met wel verschillende waardes β voor vroege
en γ voor late afwijkingen, ontstaat de gesegmenteerdlineaire functie cS die in figuur 2 getekend staat, met
hellingen –β en +γ.
Als door de beperkte wegcapaciteit niet iedereen
precies om t* kan aankomen, zullen reistijden T(t) in
het evenwicht zodanig over aankomsttijden moeten
variëren dat de reistijdkosten cT(t) = α∙T(t) precies
compenseren voor verschillen in cS (waarbij α weer de
reistijdwaardering geeft). Alleen dan heeft geen enkele
weggebruiker nog een prikkel om zijn of haar aankomsttijdstip t te veranderen. Dit is het evenwicht dat
getekend is in figuur 2, aangegeven met superscript 0.
Het gegeneraliseerde kostenniveau zonder heffingen,
c0, is voor iedereen even hoog en bestaat uit de som van
cS en cT.
Om het model volledig te maken, dienen nog enkele zaken gespecificeerd te worden. Eén daarvan is de
vraagfunctie, en daarvan veronderstelde Vickrey dat
deze perfect inelastisch is: het aantal weggebruikers N
is gegeven. Een ander is de congestiefunctie. Hiervoor
gebruikte hij pure bottleneckcongestie: reistijdverliezen
bestaan daarbij uit wachten vóór een knelpunt, en het
aantal auto’s in de wachtrij verandert met een groeivoet
gelijk aan de stroom van ‘aansluiters’ achter aan de rij,
minus de capaciteit s waarmee het knelpunt auto’s laat
uitstromen. Als er op het moment van aansluiten in de
rij een wachtrij van Q(t) auto’s staat, is het tijdverlies
door de file T(t) = Q(t)/s. Voor het gemak kunnen alle

De auteur heeft verklaard dit artikel alleen te publiceren in ESB en niet elders
te publiceren in wat voor medium dan ook. Het is wel toegestaan om het artikel voor eigen gebruik
en voor publicatie op een intranet van de werkgever van de auteur aan te wenden.

Jaargang 98 (4672S) 8 november 2013

ESB Dossier Gedragseconomie voor milieubeleid

andere (constant veronderstelde) reistijden genegeerd
worden; de reistijd T(t) geeft dus alleen het tijdverlies
door wachten in de file.
Om het evenwichtspatroon van reistijdverliezen
T(t) te krijgen waarbij de tijdsvariatie in cT precies
compenseert voor die in cS, moet dan voor vroege
aankomsten de toestroom richting de file constant zijn
en hoger dan de capaciteit, zodat de file lineair over de
tijd groeit, terwijl deze voor late aankomsten constant
en lager dan de capaciteit moet zijn, zodat de file lineair afneemt. Omdat dan de aankomststroom op de
bestemming s constant over de tijd is, laat figuur 2 zien
dat in het evenwicht de totale schedule delay-kosten (s
maal het oppervlak onder cS tussen het begin en het
eind van de spits, tB en tE) gelijk is aan de totale reistijdkosten (s maal het oppervlak tussen de horizontale lijn
op c0 en cS over dezelfde periode). Met andere woorden,
het beschouwen van alleen de twee ­aatstgenoemde,
l
zoals nogal eens gebeurt als het over de kosten van files
gaat, geeft dan een aanzienlijke onderschatting van die
kosten.

Dat wil zeggen: bij inelastische vraag N zijn er al forse
welvaartswinsten (de reiskosten worden gehalveerd),
en als de vraag elastisch zou zijn, zouden deze niet veranderen door invoering van de optimale heffing, juist
omdat de gegeneraliseerde prijs en dus het totaal aantal
gebruikers niet verandert.
Twee veelgehoorde bezwaren tegen congestie­
heffingen zijn volgens dit model feitelijk irrelevant.
Een eerste is dat alternatieven voor weggebruik, zoals
het ov, onvoldoende aantrekkelijk zijn of niet genoeg
capaciteit hebben. In dit model is het optimale aantal
weggebruikers hetzelfde als zonder congestieheffingen, en is er dus ook geen alternatief voor weggebruik
nodig om het optimum te bereiken. Een tweede bezwaar is dat mensen nu eenmaal op een bepaald moment op hun werk moeten zijn, en dus het tijdstip niet
kunnen aanpassen. In dit model is de uitstroom van
het knelpunt in zowel het evenwicht als het optimum
gelijk aan de capaciteit s, en vindt het gedurende hetzelfde tijdsvenster tussen tB en tE plaats. Aankomsttijden hoeven dus ook niet te veranderen: het zijn alleen
de vertrektijden van huis die aangepast worden.

HALVERING KOSTEN

Omdat reistijdverliezen in dit model een puur (deadweight) verlies zijn, is het optimum de situatie waarin
de toestroom naar het knelpunt constant over de tijd
is, en gelijk aan s. De totale kosten worden dan gehalveerd: de schedule delay-kosten blijven bestaan, maar
de reistijdverliezen zijn verdwenen. Zonder aanvullend beleid is dat natuurlijk geen evenwicht, omdat
dan de aankomst op t* aantrekkelijker zou zijn dan een
aankomst op elk ander mogelijk tijdstip: de gegeneraliseerde prijs is niet constant over de tijd.
Vickrey liet zien dat een tijdsvariërende heffing τ,
die op elk moment gelijk is aan wat de waarde van de
reistijdverliezen in het oorspronkelijke evenwicht op
dat moment was, dit optimum ook als evenwicht voor
de gebruikers ondersteunt; de gegeneraliseerde prijs,
die nu bestaat uit schedule delay-kosten plus tol, is dan
weer constant over de tijd.
De beleidsconclusies van dit model contrasteren
sterk met die van het statische model. In de eerste
plaats neemt de gegeneraliseerde prijs p niet toe door
invoering van de optimale heffing: die heffing heeft
dezelfde waarde als de reistijdverliezen hadden die in
het optimum zijn verdwenen. In de tweede plaats zijn
de weggebruikers niet slechter af door invoering van
de tol. En in de derde plaats is de omvang van de welvaartswinsten onafhankelijk van de vraagelasticiteit.
Jaargang 98 (4672S) 8 november 2013

CAPACITEIT EN MOBIELE TELEFOONS

Het dynamische model heeft niet alleen gevolgen voor
de beleidsanalyse van prijsbeleid. Small en Verhoef
(2007) bekeken bijvoorbeeld welke fout een beleidsanalist maakt als hij de baten van capaciteitsuitbreiding probeert te berekenen wanneer hij zich ten onrechte niet realiseert dat hij te maken heeft met een
dynamisch knelpunt zoals beschreven wordt door het
bottleneckmodel van Vickrey. De beleidsanalist analyseert alsof het een statisch model betreft, waarbij alleen
de reistijdverliezen worden meegenomen, tijdstipaanpassingen worden genegeerd, en hij de meest gebruikte
statische congestiefunctie hanteert: de BPR-functie
(Bureau of Public Roads). Deze functie veronderstelt
dat reistijdverliezen via een power law afhangen van
de ratio weggebruik/capaciteit. De relatieve fout die
de analist maakt, blijkt dan proportioneel te zijn met
de gebruikte exponent in de BPR-congestiefunctie.
Voor de gebruikelijke waarde 4 overschat hij de marginale baten van capaciteitsuitbreiding met een factor
2, terwijl hij de marginale baten met vijftig procent
onderschat als hij de exponent 1 gebruikt; een lineaire
functie dus.
Een ander voorbeeld betreft de analyse van ‘ICT
aan boord’ die de waarde van reistijdverliezen laat
dalen, omdat reistijd immers beter besteed kan wor-

De auteur heeft verklaard dit artikel alleen te publiceren in ESB en niet elders
te publiceren in wat voor medium dan ook. Het is wel toegestaan om het artikel voor eigen gebruik
en voor publicatie op een intranet van de werkgever van de auteur aan te wenden.

73

ESB Dossier Gedragseconomie voor milieubeleid

den. Mobiele telefoons zijn hiervoor natuurlijk een
goed voorbeeld.
In het statische model laat een afname van de tijdswaardering beide kostencurves gk en mk naar beneden
schuiven en minder steil worden: dezelfde reistijdverliezen leveren immers lagere gebruikerskosten op. Het
gevolg is dat zowel het vrijemarktevenwicht als het optimum bij hogere gebruikersniveaus en lagere kosten
komt te liggen, en dat de welvaartswinst van optimale
heffingen normaal gesproken kleiner zal worden (tenzij de inverse vraagfunctie sterk convex is). ICT aan
boord zou dus een goede mogelijkheid kunnen zijn de
maatschappelijke kosten van files te verlagen.
In het dynamische model, daarentegen, verandert
er aan de reiskosten helemaal niets als de tijdswaardering α lager wordt. Dat wil zeggen, de lengte van de
wachtrij in het evenwicht zal op elk moment in dezelfde
proportie toenemen als dat α is afgenomen, omdat het
product van wachttijden en tijdswaar­ ering, cT(t) =
d
a∙T(t), nog steeds zal moeten compenseren voor verschillen in schedule delay-kosten over de tijd. ICT aan
boord zal dus de maatschappelijke kosten van files niet
kunnen verminderen. Op zijn hoogst kunnen tijdelijk
reizigers profiteren die het wél hebben terwijl anderen
het niet hebben. Maar, als uiteindelijk iedereen het
heeft, zijn de reiskosten voor iedereen weer even hoog
als ze oorspronkelijk waren, en zullen dus ook de potentiële welvaartswinsten van optimale prijzen weer
even hoog zijn geworden.

LITERATUUR
Ministerie van Infrastructuur en Milieu (2011) Resultaten
Mobiliteisprojecten. Den Haag: Ministerie van IenM.
Pigou, A.C. (1920) The economics of welfare (first edition).
Londen: Macmillan.
Santos, G., W.W. Li en W.T.H. Koh (2004) Transport policies in Singapore. In: Santos, G., Road pricing: theory and
evidence, Amsterdam: Elsevier, 209–235.

CONCLUSIE

Tijdstipkeuze is een belangrijk element in het spitsgedrag van weggebruikers. Het niet meenemen daarvan
in beleidsanalyses kan tot substantiële vertekeningen
leiden in de conclusies. Waar het statische model bijvoorbeeld zegt dat invoering van optimale congestieheffingen leidt tot hogere gegeneraliseerde kosten van
de gebruiker en geen effecten zal hebben bij een perfect
inelastische vraag, voorspelt het dynamische model
gelijkblijvende gegeneraliseerde kosten en zijn de welvaartswinsten onafhankelijk van de vraagelasticiteit.
Het gebruik van het statische model bij kosten-batenanalyses van wat in werkelijkheid dynamische congestie is – bepaald niet ongebruikelijk in de praktijk – kan
tot zowel een substantiële onder- als overschatting leiden van de marginale baten van capaciteitsuitbreiding.
En waar het statische model voorspelt dat ICT aan
boord de kosten van congestie kan laten dalen doordat
tijd beter gebruikt kan worden, maakt het dynamische
model duidelijk dat er vervolgens tijdstipaanpassingen
zullen plaatsvinden die dergelijke winsten volledig teniet zullen doen.
Het dynamische model levert een gunstiger beeld
op van de potentie van prijsbeleid ter bestrijding van
congestie dan het statische model dat Pigou zelf impliciet in gedachten had. Daarbij moet wel bedacht
worden dat die gunstige effecten zijn afgeleid voor
optimale, over de tijd variërende heffingen. Met name
voor de regulering van congestie bij knelpunten – files
dus – is het model het best toepasbaar, en de wenselijkheid van dynamische heffingen daarmee het meest
aannemelijk. Tegelijkertijd zijn dat de situaties waar
de baten van ICT-oplossingen niet overschat moeten
worden vanwege mogelijke rebound-effecten door tijdstipaanpassingen, en waar het voor kosten-batenanalyses van capaciteitsuitbreidingen heel belangrijk is om
het juiste gedragsmodel te gebruiken.
Het belang van het op de juiste wijze modelleren van scheduling-gedrag in de analyse van beleid
gericht op verkeerscongestie is daarmee afdoende onderbouwd. Maar dat ook daadwerkelijk doen is in de
huidige praktijk nog een zeldzaamheid.

Small, K. en E.T. Verhoef (2007) The economics of urban transportation. Londen: Routledge.
Spitsmijden Consortium (2007) Effecten van Belonen. Den
Haag: Spitsmijden Consortium.
Vickrey, W.S. (1969) Congestion theory and transport investment. American Economic Review, 59(2), 251–260.

74

De auteur heeft verklaard dit artikel alleen te publiceren in ESB en niet elders
te publiceren in wat voor medium dan ook. Het is wel toegestaan om het artikel voor eigen gebruik
en voor publicatie op een intranet van de werkgever van de auteur aan te wenden.

Jaargang 98 (4672S) 8 november 2013