Exotische opties: het ‘geheim’ van Centraal Beheer

Exotische opties: het ‘geheim’ van Centraal Beheer
Aute ur(s ):
Hasselt, P. van (auteur)
De auteur is werkzaam b ij de vakgroep Financieel Management van de Universiteit van Amsterdam. Met dank aan A.W.A. Boot en P. van Oijen.
Ve rs che ne n in:
ESB, 81e jaargang, nr. 4043, pagina 100, 31 januari 1996 (datum)
Rubrie k :
Tre fw oord(e n):
beleggen

Er is een beleggingspolis op de markt gekomen waarbij het rendement afhangt van de ontwikkeling van de EOE-index, maar de
koper ook koersgaranties krijgt. Hoe kan dat?
Onlangs heeft Centraal Beheer een nieuwe koopsompolis geïntroduceerd, de ‘Centraal Beheer lijfrente-beleggingspolis met
koerswinstgarantie’. Kort samengevat houdt deze polis in dat, gedurende de looptijd van twaalf jaar, de waardeontwikkeling van het
bedrag dat de belegger in de polis stort direct is gekoppeld aan de EOE-index. Centraal Beheer geeft hier nog een aantal garanties bij:
indien de EOE-index 180% van zijn oorspronkelijke waarde bereikt gedurende de looptijd, dan wordt deze 180% gegarandeerd op de
einddatum. Hetzelfde principe wordt toegepast bij twee andere niveaus, 240% en 310% . Bovendien wordt de oorspronkelijke inleg
ook gegarandeerd. Zowaar een inventief product: beleggen in aandelen met ingebouwde koersgaranties! 1.
Centraal Beheer spreekt over ‘het geheim van de smid’ en doet heel geheimzinnig over hoe zij deze koersgaranties kunnen bieden 2. De
mystiek waarmee het product wordt omhuld, illustreert de onbekendheid met het fenomeen koersgarantie. Dit soort koersgaranties staan
echter in de literatuur bekend als ‘exotische opties’. Binnen de huidige financieringstheorie zijn dit soort producten zeker geen
onbekenden, en is het tevens mogelijk ze een prijskaartje te geven. Het doel van dit artikel is, wat van de mystiek weg te nemen.
De zogenaamde barrière-opties spelen hier een hoofdrol. Wat specifieker, de koersgarantie van Centraal Beheer is niets anders dan een
combinatie van zogenaamde ‘up and in’-puts 3. ‘Up and in’-puts zijn put-opties die pas actief worden zodra de koers een bepaalde hoogte
of barrière heeft bereikt. In het geval van de koersgarantie van Centraal Beheer zien we dat allereerst de inleg wordt gegarandeerd,
oftewel, de cliënt krijgt een put-optie met een uitoefenprijs van 100%. We kunnen dus het volgende opschrijven:
Waarde koersgarantie 100% = waarde put op 100%
Wat is nu de toegevoegde waarde van de koersgarantie op 180%? Wel, deze koersgarantie is een combinatie van twee ‘up and in’-puts.
Enerzijds krijgt de cliënt bij het bereiken van deze barrière een put-optie met een uitoefenprijs van 180%. Met andere woorden, bij
aanvang van de belegging beschikt de cliënt over een ‘up and in’-put met barrière van 180% en uitoefenprijs van 180%. Anderzijds
vervalt de put-optie op 100% bij het bereiken van deze barrière. Ook hierin herkennen we een ‘up and in’-put. De cliënt heeft namelijk de
verplichting zijn put op 100% weg te geven. Dit is niets anders dan een negatieve of ‘short’-positie in een ‘up and in’-put met uitoefenprijs
van 100% en barrière van 180%. Noteren we de waarde van een ‘up and in’-put op de EOE-index met een looptijd van twaalf jaar met Pui
(H,X), waarbij H de hoogte van de barrière en X de uitoefenprijs van de put is, dan kunnen we de toegevoegde waarde van de tweede
koersgarantie als volgt opschrijven
T.W. koersgarantie 180% = Pui (180,180) – Pui (180,100)
We merken hierbij op, dat alle waarden relatief zijn ten opzichte van het ingelegde kapitaal, omdat we de index op 100% schalen. De
waarden van de koersgaranties moeten dus geïnterpreteerd worden als zijnde in procenten van het ingelegde bedrag.
De toegevoegde waarde van de derde en vierde koersgarantie bij respectievelijk 240% en 310% kunnen op een soortgelijke wijze
omschreven worden:
T.W. koersgarantie 240% = Pui (240,240) – Pui (240,180)
T.W. koersgarantie 310% = Pui (310,310) – Pui (310,240)
De waarde van het totale pakket aan koersgaranties is nu de som van de waarden van de vierbovenstaande koersgaranties.
Nu we de koersgarantie hebben weten de identificeren als een combinatie van ‘up and in’-puts, is de volgende stap het vinden van een
bruikbare uitdrukking voor de waarde van deze barrière-opties. Onder de gangbare veronderstellingen van de optie-prijstheorie 4, is de
waarde van een ‘up and in’-put gegeven door:

Pui (H,X) = X (H/S)2ï¬ -2 e-r T N (-y+ï³ïƒ–T ) – S (H/S)2ï¬ e-qT N (-y)
waarbij
ï¬= (r – q + ï³2/2)/ï³2
y = ( ln(H2/(SX)+(r-q+ï³2 /2)T )/ï³ïƒ–T
en r het risicovrije rendement, q het dividend-rendement, f de volatiliteit van de index, T de looptijd (twaalf jaar), en N( ) de cumulatieve
normale distributiefunctie is.
De koersgaranties van Centraal Beheer kunnen nu met behulp van de bovenstaande formule worden geprijst. Neem aan dat het
risicovrije rendement 5,5% is en het jaarlijkse dividendrendement 3%. In tabel 1 zijn de waarden van de koersgaranties in het geval van
een volatiliteit van resp. 10% en 14,5% opgenomen.

Tabel 1. De waarde van de koersgarantie bij een volatiliteit van 10% en van 14,5%, in procenten

Koersgarantie
Koersgarantie 100%
Koersgarantie 180%
Koersgarantie 240%
Koersgarantie 310%

Waarde van de koersgarantie
Volatiliteit 10%
Volatiliteit 14,5%
(ï³ = 0,10)
(ï³ = 0,145)
2,2024
0,85681
0,21955
0,03987

Totale waarde koersgaranties

3,3186

5,0245
2,4195
1,0243
0,42227
8,8907

We zien dat de koersgaranties bijzonder gevoelig zijn voor de volatiliteit van de index. De bandbreedte van 10% tot 14,5% voor de
volatiliteit is conform historische gegevens. De bovenstaande twee waarden zijn derhalve een redelijke indicatie van de grenzen
waarbinnen de koersgarantie geprijst moet worden. Dat wil zeggen, dit is een indicatie voor het bedrag dat Centraal Beheer moet betalen
om deze koersgaranties te kunnen garanderen. Centraal Beheer heeft zeer waarschijnlijk een contract gesloten met een bank die dit soort
producten aanbiedt op de ‘over the counter’-markt.
Het ‘geheim van de smid’ is hiermee ontrafeld. Centraal Beheer combineert barrière-opties die al enige tijd grote populariteit genieten op
de ‘over the counter’-markt. Het is spijtig dat door de geheimzinnigheid waarmee het product gebracht wordt, de rol van de
derivatenmarkt in deze niet onderkend wordt. Na de Barings-affaire heeft het imago van deze markt immers een flinke deuk opgelopen,
terwijl dit een uitstekend voorbeeld is van de mogelijkheden die deze markt biedt. De derivatenmarkt stelt beleggers in staat om op
eenvoudige wijze een ‘payoff-pattern’ te creëren dat het beste bij hun persoonlijke preferenties past.
Krijgt de belegger deze koersgaranties nu geheel voor niets? Nee. Wat Centraal Beheer niet vermeldt, is dat de EOE-index geen dividendrendement bevat. Dit houdt in dat de belegger, ofschoon deze belegt in de aandelen die de EOE-index samenstellen, niet in aanmerking
komt voor de dividenden die bij deze aandelen worden uitgekeerd, en zodoende alleen kan profiteren van kapitaalwinsten. Het gevolg is
dat de belegger een aanzienlijke prijs betaalt voor de koersgaranties. En inderdaad, beschouwen we de contante waarde van de
beleggingen met de koersgaranties, dan blijkt dat er een ruime marge overblijft voor de verzekeraar 5

1 Een recente financiële innovatie die ook ingebouwde koersgaranties bevat en waarvan de waarde wordt bepaald door de hoogte van
de EOE-index is de zogenaamde Escape (equity structured call and put exposure). Dit product, dat op de EOE-optiebeurs verhandeld zal
worden en een looptijd heeft van vijf jaar, garandeert ook de inleg.
2 Zie de Volkskrant, 18 november 1995, blz. 47.
3 We hebben het hier alleen over Europese opties, dat wil zeggen opties die niet tussentijds uitgeoefend kunnen worden.
4 We gaan hier uit van de Black-Scholes veronderstellingen. Aangezien in dat geval een ‘up and in’-putoptie hedgebaar is, moeten we
hem risico-neutraal waarderen. We veronderstellen dus dat het prijsproces van de onderliggende waarden gegeven wordt door dSt/St =
(r-q)dt + ï³dWt, en bepalen vervolgens de waarde van elke optie door de verwachte waarde ervan te berekenen gegeven het
bovenstaande prijsproces.
5 Om de contante waarde van de belegging inclusief de koersgaranties te bepalen, beschouwen we allereerst de belegging in de EOEindex los van de koersgaranties. Noteren we het verwachte jaarlijkse rendement op de EOE-aandelen (dat wil zeggen het mandje met
aandelen dat de EOE-index samenstelt) met ï­., en het dividendrendement met q, dan is bij deze investering van twaalf jaar het verwachte
eindkapitaal e(ï­-q)T maal de oorspronkelijke inleg, aangezien dividenden worden misgelopen. Om de contante waarde van dit verwachte
eindkapitaal te berekenen, moeten we verdisconteren met eï­T . De contante waarde van de investering in de EOE-index is dus e-qT maal
de inleg. De totale waarde van het pakket komt zodoende op (E-qT + waarde koersgaranties) x inleg Evaluatie van het bovenstaande leert
dat een groot deel va de inleg (20-30%) naar de verzekeraar gaat. We moeten hierbij opmerken dat we de kosten van de verzekeraar
volledig genegeerd hebben, mede omdat het lastig is om inzicht te krijgen in deze. Echter, deze marge is ruim genoeg om elke schijn van
exceptionele goedhartigheid van de kant van de verzekeraar weg te nemen. Zie ook A.W.A. Boot, Koopsommen en premie-stortingen.

Een goudmijn: maar voor wie?, onderzoeksrapport, Universiteit van Amsterdam, 1995.

Copyright © 1996 – 2003 Economisch Statistische Berichten ( www.economie.nl)