Ingezonden
Een nieuwe marktmdex voor
aandelen
DRS. A.G.Z. KEMNA – DRS. J.K. VAN VLIET DRS. R.TH.WIJMENGA*
In hun artikel ,,Een nieuwe marktindex
voor aandelen” in ESB van 16 mei jl. stellen Dorsman en Van der Hilst terecht dat
de ANP-CBS-beursindex algemeen en de
beurswaarde-index algemeen minder geschikt zijn voor lange-termijnbeschouwingen omtrent de rendementsontwikkeling
op de Amsterdamse effectenbeurs. Zij
brengen de door hen ontwikkelde ,,Tilburg-Amsterdam Marktindex” (TAM)
naar voren als een geschikt alternatief. Het
belangrijke pluspunt van deze index is dat
de verwerking van uitkeringen die bijdragen tot het rendement, zoals dividenden,
beter geschiedt dan bij de twee eerder genoemde indices. Hoewel daarmee een stap
in de goede richting is gedaan blijft de
vraag of de TAM geschikt is als index voor
de lange-termijnrendementsontwikkeling
op de Amsterdamse effectenbeurs. Wij
menen dat de vraag ontkennend moet worden beantwoord, zoals wij zullen aantonen
aan de hand van twee voorbeelden.
Laten wij ons eerst richten op het verloop van de TAM in een zeer eenvoudige
wereld waarin slechts een fonds wordt verhandeld. Bovendien vinden er geen uitkeringen zoals dividend plaats. De koersen
van dit ene fonds zijn achtereenvolgens
100, 200, 100, 200, 100, . ..: een cyclisch
patroon. In deze fictieve wereld ontwikkelt
de TAM (evenals de TAM-0) zich als volgt:
100, 169, 52, 88, 27, 46, 14, 24, 7, …. Het
is duidelijk dat in deze situatie de TAM niet
geschikt is als lange-termijnindex voor de
* De auteurs zijn verbonden aan de Erasmus
Universiteit Rotterdam.
van dit experiment voor de praktijk is een
cyclisch verloop van de markt; de TAM
verschillend beeld van de rendementsontwikkeling, afhankelijk van de tussenliggende koersen. Deze eigenschap wordt dan
heeft bij een alternerende markt een inge-
ook padafhankelijkheid genoemd. Bij ge-
bouwde neiging tot dalen. Gelukkig is deze
bruik van de alternatieve index, de TRA,
kan deze padafhankelijkheid eenvoudig
worden vermeden. Daartoe dient men de
gewichten Wit waarmee de afzonderlijke
fondsrendementen worden gewogen, vast
te kiezen, dat wil zeggen onafhankelijk van
de tijd (men zou als gewichten bij voorbeeld de relatieve beurswaarde in een basisperiode kunnen nemen). Dan kan voor
het algemene geval waarin sprake is van
verscheidene fondsen die ieder hun eigen
rendementsontwikkeling. Het equivalent
onprettige eigenschap verklaarbaar en kan
zij vermeden worden.
Laten wij daartoe de TAM nader bekij-
ken. Bij het bepalen van een index waarbij
de rendementsontwikkeling op de Amsterdamse effectenbeurs centraal staat gaan
Dorsman en Van der Hilst ruwweg als
volgt te werk: eerst berekenen zij de rende-
menten van de ± 50 grootste fondsen,
waarbij rekening wordt gehouden met de
dividenden en andere uitkeringen. De
koerspad volgen, worden aangetoond dat
TAM bepalen zij nu zo dat het rendement
op de index een (gewogen) gemiddelde van
de individuele rendementen is. Deze benadering dringt zich op natuurlijke wijze op.
Zij is echter niet op een consequente wijze
de TRA padonafhankelijk is 3). Alleen de
koersen aan het begin en aan het eind van
relatieve koersverandering van die index 1)
de beschouwde periode zijn bepalend voor
de waarde van de TRA.
Gezien de toenemende belangstelling
voor beleggingsanalyse is het zonder meer
toe te juichen dat Dorsman en Van der
Hilst een index willen construeren die re-
(zie bijlage onder Al). Het rendement op
mentsontwikkelingen op de Amsterdamse
met de aandeelkoers zouden zijn.
4) Zie ook A.G.Z. Kemna, J.K. van Vliet en
R.Th. Wijmenga, Een aandelenindex voor de
opliebeurs, voordracht gepresenteerd op de FinBeldag 1984, Erasmus Universiteit Rotterdam.
Bijlage
A: Berekeningswijze TAM
We gaan uit van de volgende definities:
Pit = koers van fonds i op tijdstip t;
DJ, = uitkeringen op fonds i van tijdstip
t-1 tot tijdstip t;
RI, = rendement van t-1 tot t op fonds i;
RI, = rendement van t-1 tot t op de index.
presentatief is voor lange-termijnrende-
de afzonderlijke fondsen daarentegen is
gedefinieerd als de natuurlijke logaritme
van de verhouding tussen de koers op
tijdstip t en de koers op tijdstip t-1 (zie bijlage onder A2). Deze laatste definitie van
rendement wordt meestal gebruikt om het
probleem van de door Dorsman en Van der
Hilst gei’llustreerde onzuiverheid van het
rekenkundig gemiddelde van relatieve
Deze noodzakelijke padafhankelijkheid als gevolg van dividenden zou alleen vermeden kunnen worden als alle dividenden proportioned
toegepast: het rendement op de index is op
de gebruikelijke manier gedefinieerd als de
koersveranderingen te vermijden. Het ge-
bruik van deze twee verschillende rendementsdefinities binnen een index veroor-
zaakt de ingebouwde neiging van de TAM
om te dalen in een alternerende markt. Om
deze interne inconsistentie op te heffen de-
effectenbeurs. De door hen voorgestelde
berekeningswijze van fondsrendementen
houdt beter rekening met dividenden en
andere uitkeringen dan bij bestaande indi-
ces het geval is. Bij de constructie van een
index uit de gegevens van de afzonderlijke
fondsen is echter de nodige voorzichtigheid geboden. Het is wenselijk dat een index voldoet aan een aantal natuurlijke eisen zoals onder andere de genoemde padonafhankelijkheid. Naast de TAM voldoet
ook de vorig jaar geintroduceerde EOEindex niet aan deze en andere eisen 4). Het
voldoen aan een aantal vereisten is echter
finieren wij het rendement op de index op
van groot belang voor de levensvatbaar-
dezelfde manier als het rendement op de
heid van een index.
afzonderlijke fondsen, namelijk als de natuurlijke logaritme van de verhouding tussen oude en nieuwe koers 2). De daaruit resulterende index zullen wij de TRA (Tilburg Rotterdam Amsterdam)-index noemen. De waarde die de TRA aanneemt aan
Bij het construeren van de TAM worden
RI, en Rit gedefinieerd als:
(Al)R I t = (TAM, – TAM, ,)/TAM, ,
(A2)R it = ln[(P h + D^/P,,.,]
Door de R h gelijk te stellen aan een gewogen gemiddelde van de R it volgt de
TAM hieruit als
TAM, = TAM,_, (1 + £ W it .R it )
i
waarbij:
Wi( de wegingsfactoren voorstellen
(£ W jt ) = 1
i
B: Berekeningswijze TRA
Definieer R I t als:
A.G.Z. Kemna
J.K. van Vliet
R.Th. Wijmenga
(Bl) R,, = In (TRA, / TRA, ,);
De TRA volgt dan op dezelfde wijze als
onder A als
het einde van periode t wordt berekend als
de waarde van de TRA aan het einde van
periode t-1 vermenigvuldigd met een gewogen geometrisch gemiddelde van de afzonderlijke fondsrendementen (zie kader onder B). Daarmee is de TRA een gewogen
variant van de ,,value line”-index. In het
eerder genoemde voorbeeld waarin slechts
een fonds wordt verhandeld met koersen
100, 200, 100, . . . ontwikkelt de TRA zich
zoals mag worden verwacht: 100,200,100,
Een tweede onprettige eigenschap van de
TAM (en de TAM-0) is dat haar waarde
niet alleen afhangt van de koersen uit de
basisperiode en de huidige koersen, maar
ook beinvloed wordt door daartussen liggende koersen. Een eenvoudig voorbeeld is
verhelderend. Veronderstel weer een situatie waarin slechts een fonds wordt verhandeld. De koersonwikkeling daarvan is 100,
150, 80, met als gevolg dat het verloop van
de TAM 100, 141, 52 is. Zou de koersont-
wikkeling van het fonds daarentegen 100,
120, 80 zijn geweest dan had de TAM 100,
118, 70 te zien gegeven. Ondanks dezelfde
begin- en eindkoersen geeft de TAM een
ESB 7-11-1984
1) Wij zien in dit betoog af van dividenden en
(B2)TRA, = TRA, _ , .
‘P
andere uitkeringen. Wij willen daarmee geenszins de indruk wekken als waren zij te verwaarlo-
zen. Integendeel, zij zijn een belangrijke, maar
helaas ook complicerende factor, die voor ons
betoog een onnodige en ongewenste vertroebe-
ling zou betekenen. Zie echter ook voetnoot 3
voor een nadere uitwerking van de invloed van
dividenden.
2) Het bewandelen van de andere weg om de inconsistentie op te heffen het definieren van het
rendement op de afzonderlijke fondsen op dezelfde wijze als het rendement op de index —
leidt tot een andere ongewenste eigenschap voor
de index, namelijk padafhankelijkheid. De inhoud van de eigenschap wordt later in dit betoog
Naschrift
De TAM: een praktische index
Om de koersontwikkeling op een aande-
lenmarkt te beschrijven kan men gebruik
maken van een index. Een index is net een
bril waarmee men een beter inzicht in de
koersontwikkeling probeert te krijgen.
verklaard.
3) Het bewijs van deze bewering is eenvoudig te
Naar onze mening moet een dergelijke index aan twee voorwaarden voldoen. Ten
leveren. Het is op verzoek bij de auteurs verkrijgbaar. Zodra er sprake is van dividendbeta-
eerste dient de constructie van de index op
lingen is deze bewering niet langer waar. De gehanteerde definities van perioderendementen
veronderstellen impliciet het terugploegen van
de uitkeringen in hetzelfde fonds. Bij een zelfde
dividend kan dan bij een lage aandeelkoers relatief meer geherinvesteerd worden dan bij een hoge aandeelkoers. Voor het totaal rendement over
een langere periode maakt het dan wel degelijk
uit welke koers het fonds ex-dividend noteerde.
een adequate manier te geschieden. Een
tweede voorwaarde is dat de samenstelling
van de index economisch relevant moet
zijn. De eerste eis betekent dat de index statistisch gezien een goed beeld van het
koersverloop op de desbetreffende markt
dient weer te geven, terwijl de tweede eis inhoudt dat, afgezien van statistische grappen, de index vanuit het standpunt van de
1059
econoom op een acceptabele wijze dient te
worden samengesteld. De laatste eis is
samenstelling van deze index iedere econo-
Hier is rt = ln(Pt/Pt. i) en Rt = (Pt-Pt-1)
/Pi ( = Pt/Pt.i-l) met Pt de koers op dag t
en P(. j de koers op dag t-1. Evenals Kemna
e.a. zien ook wij gemakshalve van het uitkeren van dividenden af. De grafieken van
de functies R{ en r^ hebben alleen het punt
A(l,0) gemeen. Voor alle andere waarden
mische ondergrond ontbeert. Verliest men
van (P t /P t .j) ligt de grafiek van R t boven
de realiteit uit het oog dan kan met behulp
van de statistiek de grootste onzin worden
bewezen.
Met bovenstaande in het achterhoofd
de grafiek van r^. Vervangen van R{ door r^
betekent derhalve dat ,,een neiging tot da-
daarbij belangrijker dan de eerste. Im-
mers, een index mag statistisch gezien nog
zo uitgebalanceerd mogelijk geconstrueerd
zijn, dan nog is zij te verwerpen wanneer de
index en de TAM-O een ongewogen index
1). Bij de constructie van deze indices is ge-
Definieren wij Rt als het naar beurswaarde
gewogen gemiddelde van de rendementen
bij de economische realiteit. Binnen dat gegeven is getracht om zoveel mogelijk aan
de eisen die uit statistisch oogpunt gesteld
kunnen worden te voldoen. Het zal duidelijk zijn dat wij bezig zijn om deze indices
van de 52 door ons beschouwde fondsen
dan is Rt over de periode 1979-1981 in
minder dan 1 % van de gevallen groter dan
0,02. Het verschil R(-rt is derhalve miniem. De periode 1979-1981 bevat 756
transactiedagen. Het zou mogelijk zijn dat
te vervolmaken. Zo kan worden gedacht
een cumulatie van de miniem kleine dage-
hantering van een andere wegingsmetho-
lijkse afwijkingen tussen Rt en rj op den
duur een storende invloed heeft. Analyse
van de TAM over de periode 1979-1981
diek. Bij een dergelijke wijziging staat ech-
leert dat de boven beschreven afwijking
ter de economische relevantie voorop.
nog geen half procent per jaar bedraagt.
Met genoegen hebben wij kennis geno-
Het genoemde probleem is statistisch aan-
men dat ons artikel in ESB enkele Rotter-
wezig doch economisch niet relevant. Voor
dammers ertoe heeft aangezet om de pen te
hanteren. Zij noemen twee punten die volgens hen nadelig zijn voor de TAM (en de
TAM-O). Het eerste punt betreft de ,,inge-
de fijnproevers verwijzen wij naar Fama 2)
en Granger en Morgenstern 3). Deze auteurs beweren dat wanneer rendementen
kleiner zijn dan 15% de logaritmen van de-
bouwde neiging tot dalen” van deze twee
ze rendementen in grootte nauwelijks van
indices. Als tweede punt noemen deze auteurs de padafhankelijkheid van de TAM
de desbetreffende rendementen verschil-
en de TAM-O. Hoewel wij het statistische
begrip padonafhankelijkheid niet noemden, vermelden wij in ons artikel dat een
nadeel van de TAM is dat vanwege de periodieke wijziging in de samenstelling van de
len. Het gebruik van logaritmische rendementen heeft enkele aantrekkelijke kanten, waarop wij hier niet ingaan.
Padafhankelijkheid
portefeuille de waarde-ontwikkeling van
de TAM op basis van weekgegevens niet
Het tweede punt dat onze gewaardeerde
aansluit op de waarde-ontwikkeling van de
TAM op basis van dag- en maandgegevens.
collegae uit Rotterdam opmerken betreft
de padafhankelijkheid van de TAM en de
TAM-O. Ook hier geldt dat statistisch gezien de opmerking juist is doch dat door de
kleine waargenomen gemiddelde rendementen ons inziens de economische relevantie ontbreekt. De auteurs opperen de
De neiging tot dalen van de TAM en de
TAM-O
Kemnae.a. beweren dat de TAM niet geschikt is als lange-termijnindex voor de
rendementsontwikkeling. Zij ondersteunen hun bewering door middel van een
voorbeeld die zij zelf niet als reeel beschouwen. De door Kemna e.a. genoemde neiging tot dalen van de indices laat zich op
vrij gemakkelijke wijze verklaren aan de
hand van de volgende figuur.
mogelijkheid om de gewichten Wjt waarmee de afzonderlijke fondsrendementen
gewogen worden, vast te kiezen (dat wil
zeggen onafhankelijk van de tijd). Gesuggereerd wordt om als gewichten bij voorbeeld de relatieve beurswaarde in een basisperiode te nemen. Ons inziens wordt
hierdoor alleen het probleem verlegd. Kiest
men een bepaalde basisperiode en verandert men deze gedurende een lange tijd
niet, dan kan de ,,economische relevantie
van de basisperiode” verloren gaan. Zie
hiervoor ook onze kritiek op de constructie
van de ANP-CBS-beursindex. Verandert
men de basisperiode van tijd tot tijd dan
krijgt men het oorspronkelijke probleem
van padafhankelijkheid weer terug. Bo-
vendien geldt, zoals Kemna e.a. opmerken, dat in geval van dividenduitkeringen
padonafhankelijkheid zeer moeilijk te rea-
liseren is. Ook zij geven daarvoor geen
oplossing.
Onze conclusie is dat de aangedragen
voorstellen tot verbetering van de door ons
1060
tisch gezien hebben de voorstellen ons inziens geen werkelijke waarde. Vooralsnog
zien wij geen reden om de TAM te
vervangen.
A.B. Dorsman
J. van der Hilst
Kemna e.a. aangehaalde voorbeeld heeft
R( de waarde 2 in geval van een koersstijging en — 0,5 in geval van een koersdaling.
aan een uitbreiding van het aantal in de index op te nemen fondsen alsook aan de
gebied enige importantie hebben. Prak-
len” wordt geintroduceerd. Bij het door
zijn de TAM en de TAM-O geconstrueerd.
De TAM is een naar beurswaarde gewogen
poogd om zo nauw mogelijk aan te sluiten
ontwikkelde indices slechts op statistisch
1) A.B. Dorsman en J. van der Hilst, Een nieu-
we marktindex voor aandelem, ESB, 16 mei
1984, biz. 452-453.
2) E.F. Fama, The behavior of stock market
prices, Journal of Business, jg. 38, januari 1965,
biz. 34-105.
3) C.W.J. Granger en O. Morgenstern, Predictability of stock market prices, Heath-Lexington
Book, Lexington (Mass.), 1970.