Enige statistische aspecten
van kansspelen
DR. J. F. M. KOLK *
In dit artikel passeren de statistische aspecten van de verschillende gok- en kansspelen kort de
revue. De auteur maakt onderscheid tussen ,,zuivere” kansspelen zoals de lotto en de
staatsloterij en spelen waarbij kennis van zaken een rol speelt (de paardentoto en de sporttoto).
Concluderend stelt de auteur dat de speler bij beide vormen van kansspel altijd geld inlevert. De
enige winnaars zijn de exploitanten.
Inleiding
g3
Gok en kansspelen zijn al zeer oud. Immers, op de lagere
school werden ons reeds verhalen verteld en platen getoond over
onze dobbelende voorouders, de Batavieren. Gezien deze verhalen ging het hier om een spel waarbij haver en gort, ja zelfs de eigen vrijheid werd vergokt en de gokker zich zelfs tot slavernij liet
brengen. Hierbij zullen echter geen perfecte dobbelstenen gebruikt zijn, zoals we ze nu hebben. Van ,,gelijke” kansen was
daardoor geen sprake. In dit artikel wil ik graag iets toelichten
over kansen bij het gokken 1). Ik wil niet de weg van de mathematische voorstelling bewandelen, maar met u proberen langs
het pad van de logica, ,,het gezonde verstand” te lopen.
Eerst nog even het volgende. Indien niet nadrukkelijk anders
vermeld zal ik uitgaan van perfect spelmateriaal waarbij elke
mogelijke uitkomst van het spel een gelijke kans van voorkomen
heeft. Ik zal het dus hebben over een perfecte dobbelsteen, een
ideale roulette en ervan uitgaan dat alle balletjes in de lottomachine even zwaar zijn.
De eerste gok waarmee ik zelf geconfronteerd ben in mijn
jeugd was de ,,toss” van de scheidsrechter. Hierbij zijn er twee
mogelijke uitkomsten: kruis of munt. Dit is tevens op dit moment in gebruik als gokspelletje. Twee spelers nemen ieder een
munt, b.v. een rijksdaalder, en tossen. Bij gelijke uitkomst wint
A; bij ongelijke uitkomst wint B. Om na te gaan wat de kansen
voor A en B zijn stellen we een label op met alle mogelijke uitkomsten :
Speler A
Speler B
Wins! voor
munt
munt
kruis
kruis
munt
kruis
munt
kruis
A
B
B
A
A en B hebben ieder twee uit vier mogelijkheden; gelijke kansen dus. Een onschuldig spel waarbij de winnaar de twee munten
incasseert.
Overigens zullen we voorzichtig moeten zijn met onze logica
en ervoor waken dat in de voorwaarden vooraf geen kansen extra
worden ingebracht danwel worden weggenomen. Een voorbeeld
hiervan is het trekken van munten uit twee laadjes. Het voorbeeld gaat als volgt: ,,Ik heb twee gesloten laadjes. Een ervan bevat een gouden en een zilveren munt; het andere twee gouden.
Ik trek een laadje open en trek een gouden munt zonder te kunnen zien wat de andere is. Wat is de kans dat de andere munt in
dat laadje een gouden munt is?” Overdenkt u dit even voor u een
antwoord geeft. ,,Mis” zeg ik tot diegenen die tot een kans van
50% komen. De volgende label laat dit zien.
1376
We lopen wederom alle mogelijkheden af:
Stel u trok als eersle: munt 2, de ander is zilver dus fout;
muni 3, de ander is goud dus goed;
munt 4, de ander is goud dus goed.
Van de drie oplossingen zijn er twee goed. Derhalve is de oplossing van het probleem 66 %%. Dil koml omdat reeds een
voorwaarde vooraf is ingebouwd, namelijk dat u niet als eerste
de zilveren munt hebt getrokken. Een van de vier mogelijkheden
voor de slart is daarmee vervallen. Laten we met deze ,,logica”
in het achterhoofd de in dit themanummer van ESB behandelde
onderwerpen de revue lalen passeren.
De sporttoto
Bij de sportlolo hebben we direct al le maken mel een voorbeeld waarbij de kansen niet gelijk zijn. Bij de wedstrijd
Ajax-Helmond Sport is, gezien de stand op de ranglijst en het
feil dat Ajax thuis speelt, de waarschijnlijkheid dat het resultaat
„ 1″ is, veel groter dan ,,2″. Het resultaat wordt dus nadrukkelijk
bei’nvloed door de expertise van de gokker, hoewel ,,verrassingen” vaak voorkomen.
Naarmate de uitslagen meer en meer voldoen aan het op le
slellen verwachtingspatroon zal er een ,,groot” aantal winnaars
(experts) zijn. Des te meer verrassingen, des te vaker is het aantal
winnaars klein, soms slechts een, die na afloop bovendien vertellen dat ze de toto lukraak hebben ingevuld. ,,Hoeveel rijtjes
moet ik invullen om zeker le zijn dat het goede erbij is” is een
vaak gehoorde vraag. Stel dat de toto bestaat uit een wedstrijd,
dan hebben we drie mogelijkheden. Indien de toto beslaat uil
* De auteur is werkzaam bij de Dienst voor het Ukwezen.
1) Voor meer literatuur over kansen en gokken in het algemeen, zie: Wijvekate, Verklarende Statistiek, Aula, nr. 39; Moroney, Facts from figures, Pelican, nr. A 236; Mood en Graybill, Introduction to the theory of
statistics, McGraw-Hill; Brandt, Statistical and computational methods
in data analysis, NHPC. Voor specifieke onderwerpen, zie: Epstein, The
theory of gambling and statistical logic, AP; Cornish, Gambling: a review
of the literature, Home Office Research Study nr. 42; Vermeent, Kaarten
op lafel, Elsevier; Gallast, Wet op de kansspelen, Schuurman & Jordens,
nr. 69.
twee wedstrijden krijgen we de volgende label van (verticale) getallencombinaties:
Bij de Staatsloterij kunt u met een lot aan drie trekkingen meedoen. Volgens art. 6 van de beschikking met betrekking tot de
Staatsloterij bevatten de drie trekkingen per serie van 100.000
loten het volgende aantal prijzen: trekking 1 en 2 : 12.417; trekking 3 : 15.319. Daarnaast worden nog zes extra prijzen uitge-
333
I 23
222
123
Staatsloterij
We zien 3 x 3 mogelijkheden.
Voor drie wedstrijden vinden we 3 x 3 x 3 mogelijkheden:
loofd en voor die series waarin deze zes hoofdprijzen niet vielen,
zes troostprijzen per serie. Totaal worden per serie dus uitge-
i i 11 i 11 i i
loofd 12.423, 12.423 en 15.325 prijzen. De kans op een prijs, varierend tussen f. 10 en f. 500.000 is:
222222222
I I 1222333
123123123
I I I 2 2 23 3 3
123123123
333333333
I 1 1222333
I 2 3I2 3I2 3
U begrijpt het al: voor 13 wedstrijden is het resultaat 313; of
– serie 1 : 12.423 op 100.000 = 1 op 8,05;
– serie 2 : 12.423 op 100.000 = 1 op 8.05;
– serie 3 : 15.325 op 100.000 = 1 op 6,53.
wel 1.594.323 mogelijkheden. Indien u op elk formulier twaalf
kolommen invult zult u 132.861 formulieren nodig hebben. Uiteraard een absurde hoeveelheid. Als dit aantal aanmerkelijk
kleiner was geweest, had een slimmerik dit allang uitgevoerd.
Het aantal benodigde formulieren zakt namelijk erg snel. Voor
de eerst acht goed zijn ,,slechts” 6.561 kolommen nodig, of wel
547 formulieren. In de praktijk zal echter het grootste deel van
het publiek zijn expertise laten bepalen wat er ingevuld wordt.
Aangezien een lot gedurende de drie trekkingen geldig blijft is
de totale kans op een prijs een optelling van de individuele kansen: 1 op 2,49. Uiteraard is de kans op een kleine prijs (f. 10,
f. 15, en f. 25) veel groter dan de kans op een grote prijs, b.v.
f. 150.000. De kans op een kleine prijs (eindcijfer goed) is in elke
serie 1 op 10 en daarmee in totaal dus 3 op 10 (1 op 3,33).
f. 50.000 wordt echter slechts een maal getrokken in de tweede
trekking en slechts een maal in de derde trekking. Per keer een
kans van 1 op 100.000; totaal dus 1 op 50.000. Aan de hand van
het prijzenscherna kan voor elke prijs de kans worden bepaald.
De lotto
Voor een prijs van f. 100 is de kans: 200 op 100.000 in eerste en
Bij de lotto hebben we te maken met een zuiver kansspel. Bij
de lotto worden zes cijfers ingevuld op 41 mogelijkheden. Wat
zijn nu de kansen?
De kans op 1 goed (direct bij trekking van het eerste balletje):
er zijn 6 mogelijkheden uit 41; de kans is dus 6/41. De kans op
2 goed (weer opvolgend) is een vervolg op 1 goed: als u 1 goed
tweede trekking en 1.000 in de derde; totaal dus 1.400 op
heeft, heeft u nog 5 mogelijkheden uit de overige 40 lottocijfers.
Immers, er is al 1 cijfer aangekruist als goed. De kans dat ook de
tweede goed is, is dan ook 5/40 na de kans op 1 goed. Daarmee
is kans op 2 goed: 6/41 x 5/40.
Casino’s
In tabelvorm ziet dit er als volgt uit.
100.000, is gelijk aan 1 op 71,4. De kans op de hoofdprijs is afhankelijk van het aantal series. Voor x series is de kans 1 op
x 00.000.
In de Nederlandse casino’s worden met name twee spelsoorten
beoefend: black jack en roulette.
Wat betreft blackjack wil ik in het kadervan dit artikel slechts
opmerken dat de uitkomst van dit kansspel door de speler te
Aantal cijfers
goed
Kans in
procenten
Kans
14,6
1.83
dient. Zelfs is het zo, dat zeer geoefende en getrainde spelers, z.g.
_6_
41
= 6/41
2
— x —
41 ” 40
= 30/1640
3
— x — x —
41 40
39
4
— x—
41 ” 40 ” 39 38
_6_
5
4
41 ” 40 ” W ” 38 ” 37
4
J. x 2_ „ J_
— X — X
x
= 120/63960
0,187
= 360/2430480
0,015
= 720/ . . . . . . . .
0,0008
= 720/ . . . . . . . .
0,00002
5
6
A JL
41
40
39
38
37
36
laag in te zetten en wel of niet nog kaarten bij te nemen. In de
loop der tijd zijn voor dit kansspel systemen ontwikkeld waarbij
de speler tot 95% van zijn inzetten gemiddeld weer terugver-
1
4
bemvloeden is door op strategische momenten hoog, dan wel
,,cardcounters” boven 100% kunnen uitkomen. In de vermelde
literatuur is hierover voldoende na te lezen.
De roulette is statistisch gezien een eenvoudig instrument: 36
nummers plus een 0 geven 37 mogelijke uitkomsten. Voor de
kansen per inzet kunnen we de volgende label opstellen:
Inzet op:
De kans op 6 goed is dus 1 op 4,5 mln. Als u twaalf kolommen
invult is de kans op 6 goed dus 1 op 375.000. Het berekenen van
de overige kansen met behulp van ,,logisch” denken is gecompliceerder. In de in voetnoot 1 genoemde literatuur kunt u de berekeningsmethoden hiervoor vinden 2).
Oe paardenlotto
Bij de paardenlotto is expertise een nog wezenlijker element
van het gokken dan bij de voetbaltoto. Het supertrio is een weddenschap die over het algemeen wordt gemaakt met de kennis
over paarden, terrein en rijders, Indien een startveld bestaat uit
zestien paarden is de kans dat een bepaald paard op een bepaalde
plaats eindigt als alle paarden even sterk en alle rijders even slim
zijn uiteraard 1 op 16. Voor de plaatsen 1, 2 en 3 in juiste volgorde is de kans dan 1/16 x 1/16 x 1/16= 1 op 4.096. Zo eenvou-
dig is het echter niet, aangezien we te maken hebben met favorieten en outsiders waardoor kansen niet even groot zijn. Een
trio met drie favorieten zal een grotere waarschijnlijkheid hebben dan 1 op 4.096. Daarentegen heeft een supertrio met een
outsider erin veel kleinere kansen. In het laatste geval zal het
Uitkering
incl. inzet
Gemiddeld
verlies
Kans
1 nummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1/37
1-36
3 nummers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3/37
1-12 . 3/37 = 1/37
6 nummers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6/37
3
12/37
1-6 – 6/37 = 1/37
1-3 – 12/7 = 1/37
I’/!
24/37
1-3/2 – 24/37 = 1/37
1/37 = 1/37 = 2,7%
4/37
24 nummers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a) Indien de ‘nul’ uitkomt zijn er bij de enkelvoudige kans twee mogelijkheden:
a. de speler staat de halve inzet af;
b. als bij de volgende draai niet de *0′ komt krijgt hij zijn inzet terug als zijn inzet winnend is.
In gevai de ‘0’ wederom komt wordt dezelfde kans geboden nadat de halve inzet is ingenomen. De derde ‘0’ verliest definitief.
Hierdoor wordt het verlies bij de enkelvoudige kans kleiner.
Gemiddeld gezien inl hel casino dus van elke speler 2,7% van
zijn inzet, behalve als op enkelvoudige kansen wordt gespeeld,
dan is dil de helft van dit bedrag te weten 1,35%.
De roulelte zal zeker moeten voldoen aan de wel der grote ge-
tallen, d.w.z. dat op den duur elk nummer even vaak valt. Hel
is echler een fabellje dat als b. v. nr. 12 al zestig keer niel gevallen
2) De kans op ,,een” kruisje goed kan nog eenvoudig worden nagegaan.
Bij het eerste balletje is de kans 6/41. Bij het tweede balletje heeft u 6 uit
aantal juiste voorspellers veel kleiner zijn en daarmee de uitke-
40 kansen; immers 1 balletje is uit de bol verdwenen. Bij de zes trekkingen is de kans dat ten minste 1 kruisje juist is: 6/41 + 6/40 + 6/39 + 6/38
ring per juiste weddenschap ook veel groter.
+ 6/37 + 6/36 = 0,937 dus 93,7%.
ESB 22/29-12-1982
1377
is, de kans dat deze valt erg groot is, Een roulettecylinder heeft
paald nummer 1 op 37 en de kans op rood of zwart 18 op 37. De
kans op b.v. twee keer rood na elkaar is nog altijd 23,7 (18/37
x 18/37) en de kans op vijf keer rood na elkaar 2,7%.
Als een casino een roulette twaalf uur op een dag voor de spelers ter beschikking heeft en het draaitempo een draai per drie
minuten is kunnen in totaal 240 spellen worden gespeeld. Deze
240 spellen betrokken op 37 mogelijke uitkomsten is een veel te
klein aantal om op statistische gronden iets van een roulette te
Kans
Comb ina tie
immers geen geheugen. ledere keer opnieuw is de kans op een beKers
_
Kers
_
Kers
Hartje
Sinas
Pruim
Bef
Ster
Joker
_
—
Kers
Kers
Kers
Hartje
Sinas
Pruim
Bel
Ster
Joker
_
Kers
—
Kers
Kers
—
Sinas
Pruim
Bel
Ster
Joker
zeggen. Het is dan ook zeer de vraag of de ,,noteerders” aan de
=
=
=
=
1 9
9 9
1 1
9 1
= 1
=
=
=
=
=
=
2
2
1
1
1
1
1
2
1
3
1
1
1
Prijs
Totaal
8
2
8
2
2
2
5
5
10
2
10
14
18
20
20
144
324
= 72
= 162
= 8
= IS
2 =
2
10 = 40
1 = 2
1= 3
2 = I
1
I =
1 =
1
40
90
20
80
20
42
36
20
20
836
roulettetafel hun kansen daarmee vergroten. Eerder zal een consequente speelmethode het verlies tot 2,7% kunnen beperken.
Betrokken op 1.000 mogelijkheden heeft deze automaat dus
een uitkering van 83,6%.
Speelautomaten
Voor speelautomaten zijn winst- en verlieskansen afhankelijk
van het aantal rollen of walsen in de automaat en het aantal
Slotopmerkingen
symbolen per rol. Voor een rol met twintig symbolen is de kans
Gelet op de hier gepresenteerde gegevens kunnen we concluderen dat gemiddeld gesproken de speler altijd geld inlevert. Het
op het voorkomen van ieder symbool 1 op 20. Voor de combinatie van vier rollen is de kans dat de machine dusdanig stopt dat
kleinste verlies wordt nog geleden bij de spelvormen in de casi-
elke rol b.v. op positie 1 staat, dan ook 1/20. 1/20. 1/20. 1/20
no’s. Bij lotto, toto en paardentoto wordt een deel van de gelden
= 1/160.000.
In de huidige praktijk vinden we nog zeer oude automaten met
besteed voor andere doelen en vindt ook een grotere afroming
plaats die kan oplopen tot 30 a 40%. Bovendien is duidelijk dat
naarmate de inzet/prijs-verhouding groter wordt, de kans op
prijs kleiner wordt.
drie rollen waarop tien symbolen staan, Duitse automaten met
b.v. drie walsen met 10, 12 en 10 symbolen, maar de meest gangbare is toch de automaat met vier rollen van ieder twintig symbolen. Er zijn zelfs al machines met vierentwintig symbolen per
rol. Deze uitbreiding met vier symbolen verdubbelt het aantal
mogelijkheden:
Als u speelt om zich te amuseren, akkoord. Speel nooit om te
winnen. De enige winnaars zijn namelijk diegenen die de spelen
exploiteren 3).
J. F. M. Kolk
Aantal rollen
AantaE symbolen
4
3
5
10
………………………………
1.000
10.000
100.000
20
24
………………………………
………………………………
8.000
13.824
160.000
3.200.000
331.776
7.962.624
In Las Vegas staat zelfs een machine met acht rollen van twintig symbolen. Indien elk spel drie seconden duurt zou er 2.435
jaar continu gespeeld moeten worden om elke combinatie een
maal te laten voorkomen.
Veelal zullen echter op een rol een aantal symbolen vaker
voorkomen. Om het uitkeringspercentage vast te stellen bij blind
spel, dat wil zeggen dat de speler het resultaat niet be’invloedt,
kan dan een uitkeringstabel worden opgesteld. Voor de bij de
Dienst van het IJkwezen aangeboden automaten wordt dit verwerkt met behulp van een computerprogramma. Ter illustratie
wil ik hier het voorbeeld behandelen van een eenvoudige machine met drie rollen met tien symbolen zonder ,,hold”-faciliteiten.
Daarvoor hebben we nodig het prijzenschema en het voorkomen
van de symbolen op elke rol.
Winplan:
Kers
Kers
Kers
—
—
Hartje
Sinas
Pruim
Bel
Ster
Joker
Ro symbolen:
_
Kers
_
—
=
=
Kers
Kers
= 10
Kers
—
Hartje
Sinas
Pruim
Bel
Ster
Joker
Kers
Kers
—
Sinas
Pruim
Bel
= 5
= 2
= 2
Ster
Joker
2
5
= 10
= 14
= 18
= 20
= 20
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Joker
Hartje
Bel
Hartje
Sinas
Kers
Sinas
Pruim
Citroen
Ster
2
Joker
Hartje
Kers
Ster
Pruim
Sinas
Pruim
Hartje
Bel
Pruim
3
Joker
Pruim
Kers
Ster
Bel
Sinas
Citroen
Bel
Kers
Citroen
Totaal aantal combinaties: 1.000
Om een uitkering uit te rekenen nemen we weer het produkt
der enkelvoudige kansen. B.v. de kans dat ,,Kers Kers — ” voorkomt is: het aantal malen kers op rol 1 maal aantal malen kers
op rol 2 maal aantal malen niet kers op rol 3. Uiteraard in alle
gevallen gedeeld door 1.000. De uitkeringstabel ziet er als volgt
uit:
1378
3) Een beroemde uitspraak van de heer Blanc, stiehter van het casino in
Monte Carlo, in antwoord op een speler die vroeg op welke kleur hij het
best kon spelen, ,,rood” of ,,zwart” was: ,,Monsieur, rouge gagne de
temps en temps et noir gagne de temps en temps mais blanc gagne toujours”, met dit laatste uiteraard zich zelf bedoelend.